文档介绍：例说平面几何赛题中的研究性学习
因为几何的直观性和图形的可变换性,所以在平面几何的学面几何具有“数”和“形”的双重性,因此平
面几何的学习呈现出多样性和复杂性,为学生的研究性学习提供了很好
的素材。
“横看成邻侧成峰,远近高低各不同”,也就是说对一个问题的研
究可有多种角度。在解有关平面几何的竞赛题中,需要积极探索,大胆
创新。
一、探究图形,选准起点
,在圆内接四边形中,.分别是上的点, ∥,:
(1) (2)
分析:本题与圆有关,与的顶点都在圆周上,且一边与圆都相交,因此,延长它们的另一边与圆相交,发现与圆的两个交点重合,由此推断即证明两圆周角相等,从而只要证明:,,三点共线.
证明:∵∥∴
∵
∴
∴四点共圆
∴
又∵,∴
∴
∴,,三点共线
∴
同理可证:(2)成立.
二、链接条件,突破起点
,在共顶点的直角与直角中,,则
分析:本题已知条件中有三个垂直关系,由此考虑进行连接:与直角组合。延长交于,则可运用射影定理将条件转化为,这时,又站在了新的起点上.
证明:延长交于,则
在直角中,,∴
∵,∴
∴连结,则
又
∴∽
∴
又由,知四点共圆,则
∴
∴,即
又
∴∽
∴
∴
三、变更手段,拓展思路
,中,为外心,三条高、、交于点,直线和交于点,和交于点.
求证:(1),; (2)
分析:平面几何兼有“数”和“形”的双重性,所以选择用代数的方法去研究几何的问题,又开阔了我们的思路。常用的方法有“解析法”和“向量法”.
证法(一):建立直角坐标系如图,设
,,,则
方程为①
方程为②
方程为
方程为
因为中垂线方程为,中垂线方程为,所以,

又因为过的直线,其方程为
,且过原点,
∴
∴的方程为
③
由,,知
∴方程为④
∴
∴;同理
(2)为过又过的直线,故存在实数,使
成立
整理得:
化简为:
即,所以
方程整理为
∴
∴
证法(二)设点满足,则
,∴
同理,,则与重合.
∴
(∵)
(∵)
同理:
∴
∴