文档介绍：最近矩阵分析老师出了一道题目作为作业,是一道程序题,题目是对A矩阵做LU分解,要求能对A实现PA=LU的分解,并最终输出L,U,P矩阵。先来解读下题目,寥寥几句话,里面囊括的信息量却不少,然后这些都得自己去琢磨。首先对A矩阵能做LU分解,即能把A分解成这种形式A=L*U(U是上三角矩阵,是由A矩阵经过高斯消元后得到的,L是下三角矩阵,其对角线全为1,其他非零元素为在消去(i,j)位置元素过程中主元所乘的系数),条件有3,一是矩阵A必须为方阵,A如果不是方阵,就不要想着对它做LU分解啦,这是基本条件,牢记啊!二是矩阵A必须可逆,换种说法就是A必须为非奇异矩阵,这两种说法是等价的,而这又等价于A是满秩的,A是满秩又等价于A的行列式值非0,好绕,矩阵就是这样,很多定理其实是等价的,但是你得记住,不然在推导一些定理或公式的时候会犯一些基本的常识性错误。三是矩阵A在高斯消元过程中必须没有出现0主元,也就是说只有在对A进行高斯消元过程中没有出现进行交换这种情况下,A才能分解成L*U这种形式,如果对A进行高斯消元,中间某一步出现0主元,需要进行行交换了,这种情况下就不要想对A进行LU分解啦,因为不满足条件3啊!那么问题来了,假如出现了有0主元这种情况,我又想对A进行LU分解,那应该怎么办? 这就引出了带行变换的LU分解,也就是本文的主题。根据书上的定理,对任意一个非奇异矩阵(等价于可逆矩阵)都存在一个置换矩阵P使得P*A可以分解成L*U这种形式,即PA=LU。想想其实这定理也是不言自明的,刚才A不是要进行行变换才能继续高斯消元吗?而LU分解前提又是高斯消元过程中不能出现行交换,那好,我事先对A矩阵在高斯消元过程中需要交换的行给交换掉,形成一个新的矩阵B,那我对B高斯消元那肯定就不会出现需要行交换的情况,这就满足了LU分解第三个条件了,这样B不就可以进行LU分解了吗?是的,PA=LU这种形式的LU分解采用的就是这种思想。那么现在的问题是,怎么在代码中实现对A矩阵的LU分解,并输出P,L,U矩阵呢?我在网上搜了一下,发现结果大都不尽如人意,大多数程序吧只能说做A=LU这种形式的分解,一旦说A不满足条件3,那就死翘翘了,这种程序先不论其能否运行成功,结果是否正确,其鲁棒性也太差了!用个时髦点的词来说就是太low了!通用性太差了!不光如此,代码也没什么注释,可读性很差,让人怀疑是不是写给别人看的,尤其像我这种编程渣渣,看个代码费老半天劲都看不懂说什么。于是,我决定按自己的想法来走。首先从最简单的情况考虑,这也是我们做研究、做学术、做工程必须要时刻牢记心中的一点,很多人喜欢一上来就把所有问题、把最复杂的情况、把方方面面都给考虑到,然后再开始实现他的想法,我自己也有这个****惯,但是,这并不是一个好****惯,一上来就好高骛远、就想着高大上这本质上是一种急功近利的表现,那样的话你会陷入到各种各样的技术细节当中,你会想半天却仍然写不出半点实质性的东西出来,所以最好的办法是,先考虑最简单、最核心的情况,这样不仅大大降低问题的复杂度,同时也为将来进一步扩展程序、解决更复杂的情况打下了一个坚实的基础。在这个例子中,最简单的情况就是矩阵A在高斯消元过程中不需要进行行交换,也就是说A可以分解成A=L*U这种形式。这种情况下,代码如下。position(A,n)%Aisthesquarematr