向量数乘运算及其几何意义.ppt

文档介绍：向量数乘运算及其几何意义
高中数学必修4 第二章平面向量
青铜峡高级中学叶正龙
2009年5月13日
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复习1:向量的加法
B
A
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
b
a
o.
O.
C
a+b
b
a
A
B
b
a+b
a
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复习2:向量的减法
o.
B
A
a-b
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
a
b
a
-b
o.
B
A
a
b
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实际背景
在物理中:位移与速度的关系:s=vt,
力与加速度的关系:f=ma.
其中位移、速度,力、加速度都是向量,而时间、质量都是数量
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练习1:
O
A
P
B
探究: 相同向量相加以后,和的长度与方向有什么变化?
-a
如图,已知向量a,作向量a+a+a和(-a)+(-a).
a
a
-a
a
a
-a
OA= a+a+a
PB= (-a)+(-a)
=3a
=-2a
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定义:
特别地,当λ=0 或 a = 0 时, λa = 0
(2) 方向当λ>0时,λa的方向与a方向相同;
当λ<0时,λa的方向与a方向相反;
(1) 长度|λa|=|λ|·|a|
一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘运算,记作λa。
它的长度和方向规定如下:
几何意义:将的长度扩大(或缩小) 倍,改变(不改变) 的方向,就得到了λ
a
|λ|
a
a
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练习2:
结论:
2a+2b=2(a+b)
结论: 3(2a)=6 a
(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a≠0),并比较。
(2) 已知向量a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b,并比较。
=
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①λ(μa)=(λμ) a
运算律:
设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有:
②(λ+μ) a=λa+μa
③λ(a+b)=λa+λb
结合律
第一分配律
第二分配律
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练习3:
解: (1) 原式=
(2) 原式=
(3) 原式=
计算:(口答)
(1) (-3)×4 a
(2) 3( a+b) –2( a-b)-a
(3) (2a+3b-c) –(3a-2b+c )
(3-2-1)a+(3+2)b
= 5b
(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c
= -a+5b-2c
-12a
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
对于任意的向量 a,b 以及任意实数λ,μ,
恒有λ(μ1a±μ2b)=
λμ1a±λμ2b
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思考:
定理:
当a与b同方向时,有b=μa;
当a与b反方向时,有b=-μa,
所以始终有一个实数λ,使b=λa。
向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ,使得 b=λa.
1、如果 b=λa , 那么,向量a与b是否共线?
2、如果非零向量a与b共线,那么是否有λ,使b=λa ?
对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使得b=λa , 那么,由数乘向量的定义知:向量a与b共线。
若向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是a的长度的μ倍,即有|b|=μ|a|,且
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