文档介绍：成考专升本高等数学(二)重点知识及解析(占130分左右)第一章、函数、极限和连续(22分左右)第一节、函数(不单独考,了解即可)一、复合函数:要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如:是由,:是由,!二、基本初等函数:(1)常值函数:(2)幂函数:(3)指数函数:(〉0,(4)对数函数:(〉0,(5)三角函数:,,,,,(6)反三角函数:,,,其中:(正割函数),(余割函数)三、初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算,并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。他是高等数学的主要研究对象!第二节、无穷小与无穷大(有时选择题会单独考到,也是后面求极限的基础)一、无穷小1、定义:以0为极限的量称无穷小量。注意:(1)一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。(2)只有0能能作为无穷小的唯一常量,千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。例1:极限,即当时,变量是无穷小;但是当时,就不是无穷小,因为此时他的极限值不为零。所以表述无穷小时必须指明自变量的变化趋势。例2:例变量在给定的变化过程中为无穷小的是().A、B、C、D、E、F、G、H、答案:选C、E、F、H,因为上述选项的极限值均为零!二、无穷大1、定义:当(或)时,无限地增大或无限减小,则称是当(或)的无穷大。注意:(1)无穷大是变量,不能与的常量混为一谈。(2)无限增大是正无穷大(),无限减小是负无穷大()。三、无穷小和无穷大的关系:若为无穷大,则为无穷小;若为无穷小(0),则为无穷大例如:当时,为无穷小,则为无穷大。当时,为无穷大,则为无穷小。第三节、极限的运算方法(重中之重!选择、填空和解答题都会考到) 一、直接代入法:对于一般的极限式(即非未定式),只要将代入到函数表达式中,函数值即是极限值。注意:(1)常数极限等于他本身,,为任意常数(2)求极限时首先考虑用代入法,但是该方法只能针对的时候,而时则不能用代入法,因为是变量,并非实数!例1:,,,,例2:例3:例4:二、未定式极限的运算法(重点,每年必考一题!)1、未定式定义:我们把、,,,等极限式称为未定式,因为它们的极限值是不确定的,可能是无穷小,可能是不为零的常数,也可能是无穷大。注意:确定式是指极限值是确定的一个值,不用通过计算就可以推断出。2、四则运算中常见的几个未定式和确定式(1),,,为未定式(2)为未定式,为未定式,,为未定式上述和下述的都代表无穷小,即极限值为零的量。3、几个重要未定式的计算方法(1)对于未定式:分子、分母提取公因式,然后消去公因式后,将代入后函数值即是极限值。(对于分子、分母有根号的特殊情况,要先消去根号,然后提取公因式)(2)对于未定式:分子、分母同时除以未知量的最高次幂,然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。(3)对于未定式:先通分将转化成或的形式,然后再用上述或的计算方法进行计算。例1:计算.………未定式,提取公因式解:原式例2:计算.………未定式,提取公因式解:原式==例3:计算.………未定式,先去根号再提取公因式解:原式例4:计算.………未定式,分子分母同除以解:原式………无穷大倒数是无穷小,因此分子是0分母是2例5:计算.………未定式,先求极限再开三次方解:原式例6:计算.………未定式,先通分,后计算解:原式注意常用的几个代数转换公式:三、利用两个重要的极限(重点掌握公式,一般考选择、填空)1、公式:=1(把结论记住即可,重点掌握后面的等价无穷小的替换)2、公式:=或=(1)适用范围:一般用于“”未定式的极限式(2)解题方法:通常用换元法,先将复杂的变量换元成新变量t,再将原极限式中的变量新变量t的进行代换,然后转化为公式的形式,最后进行计算。注意:于换元时引入了新变量,要求出新变量的变化趋势。例1:计算.……未定式,先换元然后用公式求解解:令,得,即……将复杂的变量换元成新变量t当时,……求出新变量的变化趋势所以原式……转换成新变量的极限式后再用公式求例2:计算.……未定式,先换元然后用公式求解解:令,得,即……先换元当时,……求出新变量的变化趋势所以原式四、利用等价无穷小的代换求极限(重点、每年必考一题!)1、等价无穷小的定义:设和是同一变化过程中的两个无穷小,即如果=1,称与是等价无穷小,记作~.例1:由公式可知极限=1,所以当时,:当时,函数与是等价无穷小,则=.2、用等价无穷小的代换求极限(1)定理:设、、、均为无穷小,又~,~,且存在则=或注意:利用等价无穷小的代换求极限能起到简化运算的作用,但是等价无穷小的代换只能对分子、分母的乘除因子进行代换,不能对分子、分母的加减式子进行代换。(2)常用的等