文档介绍：上海大学
硕士学位论文
几类非线性振动系统的同伦分析
姓名:冯少东
申请学位级别:硕士
专业:一般力学与力学基础
指导教师:陈立群
20100301
摘要关键词:同伦分析法;非线性;瓾匠蹋籎匠蹋振动是自然界和工程技术中普遍存在的现象,且往往是非线性的,因此对非线性问题的探索和研究越来越成为人们关注的焦点。随着科学的发展和社会的进步,非线性方程的求解渐渐成为广大科学工作者必须面对的问题,寻找一种一般的有效的求解非线性微分方程的方法就显得尤为重要。同伦分析方法是今年来发展迅速的一种求解非线性方程级数解的近似解析方法,并已成功应用于求解许多复杂的非线性微分问题,获得了不错的成果。作者在前人的基础上求解了非线性振动系统中的一些典型问题,并分析了其在实际应用过程中出现的新特点和新结论,不断发挥该方法的巨大潜力。首先,本文简要回顾了非线性问题的几个近似解析方法,分析了他们的优劣点,同时介绍了同伦分析方法的基本思想,与传统摄动法相比,同伦分析法不依赖方程中存在小参数,通过构造零阶形变方程和高阶形变方程将原非线性问题转化为多个线性子问题,不仅适用于弱非线性问题的求解,对强非线性问题依然有效。其次,应用同伦分析方法研究了瓾褡樱呒频剂烁ㄖ线性算子难∪。治隽烁ㄖ问齢对控制和调节级数解收敛区域和收敛速度的影响,在有效区域内选取合适的岛螅蟮靡蛔迨奔湎煊推德实慕周期解,与精确解的比较表明该级数解有很好的逼近效果。再次,对非线性方程进行了同伦分析,给出了辅助线性算子￡的选取和ǖ睦砺弁频迹诹阶椴煌问跫拢ü~叩贸隽思妒解的收敛区域,该解与四阶龙哥库塔法计算所得的数值解的比较显示在强非线性条件下同伦分析法依然有效。最后,对本文所做的工作和得到的结果进行了总结,并且进一步展望了未来需要研究的工作。近似级数解。上海大学硕士学位论文
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、国家自然科学基金⑸虾J凶匀豢蒲Щ、上海市教委科研项目、振动是自然界、工程技术、日常生活和社会生活中普遍存在的现象,例如大海的波涛欺负、花的同开夜闭、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等形形色色的现象都具有明显的振动特性。工程技术所涉及的机械和结构的振动称作机械振动,许多情况下,它被认为是消极因素,例如,振动会影至引起结构的破坏。典型的例子是年美国塔可马跚乓蚍缭匾应力等。振动理论的主要任务是研究和表征系统振动的规律性,从而有效地利用或抑制振动,并由此带来巨大的社会和经济效益。上海是重点学科建设项目手响精密仪器的性能,加剧构建疲劳和磨损,缩短机器和结构物的使用寿命,甚振动而坍塌的事故.。汽车和飞机的振动即使不破坏结构,也会引起强烈的噪声振动,影响乘客的乘坐舒适度。然而,振动也有积极的一面,例如将振动应用与生产工艺如振动传输、振动筛选、振动抛光、振动沉桩、振动消除内上海大学硕士学位论文图塔口跚盘卤
,早期的科学家欧拉、拉格朗同、达朗伯、伯努利等对线性振动理论的发展做出了巨大贡献,形成了目前比较成熟的线性振动理论。在一些工程问题中运用线性振动理论,我们的确能得到满意的结果,然而自然界的本质是非线性的,它存在各种各样的非线性因素,包括几何非线性、材料非线性、结构非线性以及边界条件非线性等。因此,从现实工程问题中建立起来的以常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程或其组合等描述的动力学模型一般是非线性的,并且是参数依赖的。尽管个别非线性振动问题能通过线性化进行求解,大部分非线性问题是不能线性化的,因此对非线性振动问题的分析和计算方法的研究,对世纪工程问题的解决显得尤为重要。对非线性振动的研究方法大致有数值方法和解析方法两大类。数值方法将非线性问题离散化并转化为求解线性代数方程问题或特征值问题,在现实工程中该法得到了广泛的应用。然而数值解不能帮助我们清楚得认识问题本质,人们就期望得到解析解,一方面它提供了原问题解的现实表示,我们可以能寻求解析逼近解。┑拢非线性振动的研究开始于世纪后期。年至年期间,庞加莱讨论了二阶系统奇点的分类,引入了极限环概念并建立了极限环的存在判据,定义了奇点和极限环的指数;此外还研究了分岔问题,奠定了非线性振动的理论基础。┨.疾炝送勇萘秃纳⒘Χ员J系统稳定性的影响,其结论后来由切塔耶夫给出严格证明。年李雅普诺夫给出了稳定性的严格定义,并给出了研究稳定性问题的直接方法。在定量求解非线性振动的近似解析方法方面,;另一方面也可以借此判断数值结果的正确合理性。由于