文档介绍：如何解决中考数学压轴题之一“存在性题型”
教师:黄仁芳校区:威特教育越秀校区
解题方法指导及典型例题分析数学综合性试题常常是中考试卷中的把关题和压轴题,在中考中举足轻重,中考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标。目前的中考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题。综合题是中考数学试题的精华部分,具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创造能力等特点。下面用一道典型的中考压轴题来予以解析和说明。
(2009年福建龙岩)例题:如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,四边形OBHC为矩形,CH的延长线交抛物线于点D(5,2),连结BC、AD
(1)求C点的坐标及抛物线的解析式;
(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF(点C与点E对应),判断点E是否落在抛物线上,并说明理由;
D
A
B
C
F
E
H
O
y
x
(第26题图)
(3)设过点E的直线交AB边于点P,交CD边于点Q. 问是否存在点P,使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)要求C点坐标。可以回到题目条件,发现C点在y轴上,即横坐标为0;然后又由四边形OBHC为矩形,而点D是在线段CD的延长线上,可得CD∥x轴,所以C点的纵坐标与D点的相同,即C(0,2);
由于已经求到C和D的坐标,那么直接将点坐标代入解析式中可以解出m,n的值;
(2)求一个点是否在一个函数的图像上,方法就是求出该点坐标,然后该点坐标是否符合函数解析式,若符合就在图像上;反之,不在。
这样就将问题转化为求E的坐标。由题意知,E与C相对应的,由此可以求出E点坐标为(3,-1);
(3)存在性问题,在思考过程我们可以先假设存在,然后运用解应用题的思路进行解答,即设、列、解、检验、作答。设:题目问的是什么问题,就那个问题为未知数;列|:根据条件中的相等关系列出相应的方程,若是有多种情况,就要进行分类讨论;解:解方程;检验:检查我们得出的方程根是否符合题意,若符合,则存在,反之,不存在。
题解:(1)∵四边形OBHC为矩形,∴CD∥AB,
又D(5,2),
∴C(0,2),OC=2 .
∴解得
∴抛物线的解析式为:
(2)点E落在抛物线上. 理由如下:
由y = 0,得.
解得x1=1,x2=4. ∴A(4,0),B(1,0).
∴OA=4,OB=1.
由矩形性质知:CH=OB=1,BH=OC=2,∠BHC=90°,
由旋转、轴对称性质知:EF=1,BF=2,∠EFB=90°,
∴点E的坐标为(3,-1).
把x=3代入,得,
∴点E在抛物线上.
(3)法一:存在点P(a,0),延长EF交CD于点G,易求OF=CG=3,PB=a-1. S梯形BCGF = 5,S梯形ADGF = 3,记S梯形BCQP = S1,S梯形ADQP = S2,

下面分两种情形:
①当S1∶S2 =1∶3时,,
此时点P在点F(3,0)的左侧,则PF = 3-a,
由△EPF∽△EQG,得,则QG=9-3a,
∴CQ=3-(9-