文档介绍：工科高等数学实验
东北农业大学理学院
信息与计算科学系
Mathematica
数学
实验二
计算导数与微分
导数的应用
导数与微分的计算
显函数的导数计算
命令格式:
D[f[x],x] (*求f(x)的导数*)
D[f[x],x] /.x->a (*求f(x)在一点a处的导数*)
D[f[x],{x,n}] (*求f(x)的n阶导数*)
例:
D[ArcTan[(6x-1)^(1/2)],x]
D[x^(Sin[x]), x] /.x->Pi/2
D[Exp[x]*Cos[2*x], {x, 7}]
D[f[3x+2],x]
微分的计算
命令格式:
Dt[f[x]]
例:
Dt[Sin[2x]]
Dt[f[3x+2]]
隐函数的导数
在隐函数所确定的方程左右两侧同时对自变量求导,
然后将导数从方程中解出来。
例:
a1 = D[2x^2 - 2x*y[x] + y[x]^2 + x + 2y[x] + 1 == 0, x]
Solve[a1, y'[x]]
a2 = D[2x^2 - 2x*y[x] + y[x]^2 + x + 2y[x] + 1 == 0, {x,2}]
Solve[a1, y''[x]]/.%%
求
确定的隐函数的一阶、二阶导数
(*求方程a1的解*)
参数方程确定的函数的导数
例:
D[E^t*Sin[t],t]/ D[E^t*Cos[t],t]
D[%, t]/ D[E^t*Cos[t], t]
求由参数方程
所确定的函数一阶、二阶导数
导数的应用
函数的单调区间与极值
例:
求函数
的单调区间与极值
g1[x_]:=D[x^3-2x+1,x]
Solve[g1[x]==0,x]
得到驻点
和
内选择特殊点,根据特殊点的符号判别;也可以通过函数图象
,可通过在由驻点所分隔的区间
直接确定单调区间和极值。
函数极值的近似值
FindMinimum[f[x],{x,a},选项]
命令格式:
上述命令分别为求函数在初值a附近的极小、极大值的一个近似值。
FindMaximum[f[x],{x,a},选项]
例:
求函数
在区间
内的极值的近似值
Plot[2(Sin[2x])^2+5/2x*(Cos[x/2])^2,{x,0,Pi}]
FindMaximum[2(Sin[2x])^2+5/2x*(Cos[x/2])^2