文档介绍：《抽象代数》课程教学大纲
Abstract Algebra
课程代码:
课程性质:专业基础理论课/必修
适用专业:信息安全
开课学期:4
总学时数:56
总学分数:
编写年月:2004年7月
修订年月:2007年7月
执笔:陈建新
一、课程的性质和目的
抽象代数是信息安全方向的重要基础课程之一,主要介绍群,环,域(以及模)的基本概念和基本理论。通过以上知识的学习和习题的训练,培养学生的抽象思维能力和严密的逻辑推理能力,使学生们将受到良好的代数训练,并为进一步学习数学得到一个扎实的代数基础。
二、课程教学内容及学时分配
1. 基本概念(12学时)
了解变换的概念,区分变换与映射的不同。理解代数运算的概念,会判断给定的运算是否代数运算。对于给定的代数运算,会验证是否满足结合律,交换律以及左右分配律。给定两个不同的代数系统,会判断二者是否同态或者同构。最后,在这一部分还要求理解等价关系和集合分类之间的关系,对给定的等价关系,如何确定一个集合的分类,反之,给定一个集合的分类又掌握确定怎样的一个等价关系的方法。
(12学时)
理解群和交换群的定义,群的一些简单的性质以及逆元和单位元在群中的作用。了解同群有密切关系但比群更广泛的代数系统半群。
掌握群中元素的阶的概念和表示方法。会求一些简单群中的指定元素的阶。
理解子群的概念,和群的分类:平凡子群及真子群。知道给定群的子群的单位元和逆元与该群的关系。掌握非空子集做成子群的充要条件。知道中心元素的概念,会找一些简单群的中心。
理解循环群的生成,循环群的子群和循环群的关系。会判断n阶循环群中的一个元素是否可以生成这个循环群。
了解变换群的概念,理解抽象群和变化群之间的联系。理解置换群,循环和对换的定义,会用循环和循环的乘积来表示置换。
了解奇置换和偶置换的概念和它们之间的关系。掌握置换的简单运算:置换间的相乘,置换逆的求法和置换的阶。
理解陪集,指数的定义和Lagrange定理的内容。了解Lagrange定理所给出的陪集和指数与群的阶之间的关系。
3. 正规子群和群的同态同构(10学时)
理解在群同态映射下,单位元与逆元的象分别具有什么特点。
掌握正规子群的定义和简单性质,子群做成正规子群的条件。在同态映射下的正规子群以及正规子群相乘的状况。了解商群及商群的一个应用。
理解群同态基本定理的内容。
理解群同构基本定理的内容(群的第一,第二和第三同构基本定理)。
对群的自同构群做了解。
4. 环与域(10学时)
理解环的定义,以及交换环和非交换环的概念。会判断给定的一个集合上的运算的代数系统是否构成环。了解循环环的概念。
理解环的零因子和特征的概念。
理解除环和域的概念,掌握一个重要的四元除环。
掌握环的同态与同构。了解挖补定理的内容。
了解模n的剩余类环的做成和剩余类环的一些性质。
了解理想的定义和商环与环同态基本定理。
理解素理想与极大理想的概念掌握它们的性质与一些简单证明。
5. 惟一分解整环(10学时)
理解和掌握相伴元和不可约元的定义,以及唯一分解整的定义和性质。了解主理想环和欧氏环。
三、课程教学的基本要求
本课程是应用数学学院的专业基础课程,理论性较强,概念较为抽象,属于本专业的理论基础课。在教学方法上,