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文档介绍：立体几何问题de
向量解法
宋育科
一. 预备知识
数量积与向量积:
=( )i-( )j+( )k
=( )
注:两条相交直线的方向向量分别是
则由这两条直线确定的平面法向量是
例
的数量积和向量积
解:
=
( )i
-( )j
10-3
-15+1
+( )k
9-2
=7i+14j+7k
=(7,14,7)
二. 夹角
(1)直线与直线:
当
两直线垂直;
当
两直线平行
(2)平面与平面:
当
两平面垂直;
当
(3)直线与平面:
当
线面垂直
当
线面平行;
两平面平行
C1
B1
A1
D1
C
B
A
D
x
y
z
例 -A1B1C1D1中
求证:平面A1BD//平面CB1D1
证明:以B1为原点建立如图坐标系
(棱长为1),则A1(0,1,0),B(0,0,1)
D(1,1,1),C(1,0,1),B1(0,0,0),D1(1,1,0),从而
BD=(1,1,0),BA1=(0,1,-1),B1C=(1,0,1),B1D1=(1,1,0)
设平面A1BD和平面CB1D1的法向量分别为n1,n2
i j k
n1= 1 1 0 =(-1,1,1)
0 1-1
i j k
n1= 1 0 1 =(-1,1,1)
1 1 0
因为 n1=1·n2,所以平面A1BD//平面CB1D1
例 3. 已知三棱柱ABC-A1B1C1中|AB|=|AC|,
∠A1AB=∠A1AC,求证:A1A⊥BC.
A1
B1
A
B
C
a
b
c
分析:如图所示,欲证AA1⊥BC,
只须证AA1·BC=0即可.
证明:设 A1A =a, AB=b, AC=c
由已知条件得:|b|=|c|,<a,b>,<a,c>
∵ AA1·BC=a·(c-b)=a·c-a·b
=|a||c|cos<a,c>-|a||b|cos<a,b>=0
C1
∴ AA1⊥BC,即AA1⊥BC
P
A
B
C
E
F
G
H
,PA=PB,
CA=CB
证明:(1)∵PA=PB,CA=CB,PC=PC,
∴△BPC≌△APC,∴∠BPC=∠APC 从而,
PC·BA=PC·(PA-PB)=PC·PA-PC·PB=0. 所以,PC⊥AB.
求证: ⑴ PC⊥AB;
(2)PC=AB, E,F,G,H分别是PA,PB,BC,CA的中点,则GE⊥FH.
(2)
∵E,F,G,H分别是PA,PB,BC,CA的中点,
∴EF=1/2AB,HG=1/2AB.
∴EF=HG,从而,EFGH是平行四边形
又GE·FH
=(GH+GF)·(GH-GF)
=(1/2AB+1/2PC)·(1/2AB-1/2PC)
=1/4(AB^2-PC^2)=0
∴GE⊥FH, ∴GE⊥FH
A
O
B
C
O`
A`
B`
C`
E
F
例 5.(上海2001年高考题)棱长
为a的正方体OABC-O`A`B`C`中,
E,F分别是棱AB,BC上的动点,
且AE=BF.
求证:A`F⊥C`E.
证明:建立如图所示坐标系.
则A`(a,o,a) C`(o,a,a)
设AE=b,则E(a,b,o),(a-b,a,o)
∴A`F=(-b,a,-a), C`E=(a,b-a,-a)
∴A`F
·
C`E
= (-b,a,-a)·(a,b-a,-a)
=-ab+ab-a^2+a^2=0
∴A`F⊥C`E,
即`A`F⊥C`E.
A
B
C
A`
B`
C`
例 -A`B`C`中
若AB`⊥BC`
求证:AB`⊥A`C
证明:
设
AB=a,
a
AC=b,
b
AA`=c.
则a·c=0,b·c=0,a·b=1/2|a^2|
又∵AB`=a+c,
BC`=`
=b-a+c
c
c
∴AB`·BC`
=(a+c)·(b-a+c)
=a·b-|a|^2+a·c+b·c-c·a+|c|^2
=1/2|a^2|-|a|^2+|c|^2=0
∴|c|^2=1/2|a|^2
∴AB`·A`C
=(a+c)(b-c)=ab+cb-ca-|c|^2=1/2|a|^2-|c|^2=0
∴AB`⊥A`C,
即AB`⊥A`C.
-ABC中,
O
A
B
C
E、F分别是AB、OC的中点.
E
F
求OE与BF所成的角.
解:设正四面体棱长为1,令:
OA=a, OB= b, OC=c, 则
a
b
c
a·b=b