文档介绍：第三章行列式
第一节引言
解方程是代数中的一个基本的问题,特别是在中学所学代数中,,即线性方程组.
线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容.
对于二元线性方程组
当时,此方程组有唯一解,即
我们称为二阶行列式,用符号表示为
.
于是上述解可以用二阶行列式叙述为:
当二阶行列式时,该方程组有唯一解,即
.
称代数式为三阶行列式,用符号表示为:
.
当三阶行列式时,上述三元线性方程组有唯一解,解为
其中.
在这一章我们要把这个结果推广到元线性方程组
,首先给出阶行列式的定义并讨论它的性质,这是本章的主要内容。
第二节排列
一排列的定义
定义1 由组成的一个有序数组称为一个阶排列.
显然也是一个阶排列,这个排列具有自然顺序,就是按递增的顺序排起来的;其它的排列或多或少地破坏自然顺序.
定义2 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列的逆序数记为:
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列.
应该指出,我们同样可以考虑由任意个不同的自然数所组成的排列,,同样可以定义上面这些概念.
二排列的奇偶性
把一个排列中某两个数的位置互换,而其余的数不动,,如果连续施行再次相同的对换,,一个对换把全部阶排列两两配对,使每两个配成对的阶排列在这个对换下互变.
定理1 对换改变排列的奇偶性.
这就是说,经过一次对换,奇排列变成偶排列,偶排列变成奇排列.
推论在全部阶排列中,奇、偶排列的个数相等,各有个。
定理2 任意一个阶排列与排列都可以经过一系列对换互变,并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。
第三节阶行列式
一阶行列式的概念
在给出阶行列式的定义之前,
, (1)
(2)
从二阶和三阶行列式的定义中可以看出,它们都是一些乘积的代数和,而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的,,?在三阶行列式的展开式(2)中,项的一般形式可以写成, (3)
其中是1,2,,(2)中带有正号,当是奇排列时带有负号.
定义1 阶行列式
(4)
等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积(5)
的代数和,这里是的一个排列,每一项(5)都按下面规则带有符号;当是偶排列时,(5)带有正号,当是奇排列时,(5)
, (6)
这里表示对所有阶排列求和。
定义表明,为了计算阶行列式,,然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号。
由定义看出,阶行列式是由项组成的。
例1 计算行列式.
例2 计算上三角形行列式. (7) 解:这个行列式就等于主对角线(从左上角到右下角这条对角线)上元素的乘积
. (8)
.。
容易看出,当行列式的元素全是数域中的数时,它的值也是数域中的一个数.
二行列式的性质
在行列式的定义中,为了决定每一项的下正负号,,数的乘法是交换的,因而这个元素的次序是可以任意写的,一般地,阶行列式中的项可以写成, (11)
,不难证明,(11)的符号等于
(12)
按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于,行指标与列指标的地位是对称的,因而为了决定每一项的符号,同样可以把每一项按列指标排起来,于是定义又可以写成
. (15)
由此即得行列式的下列性质:
性质1 行列互换,
. (16)
性质1表明,在行列式中行与列的地位是对称的,因之凡是有关行的性质,对列也同样成立. 例如由(8)即得下三角形的行列式
.
第四节阶行列式的性质
行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很复杂的问题. 阶行列式一共有项,, .