文档介绍：解析几何的建立和意义

一、解析几何的建立
一句话,科学的需要和对方法论的兴趣,推动了费尔马和笛卡尔对坐标几何的研究。
费尔马,出身于商人家庭,学法律并以律师为职业,数学只是他的业余爱好。虽然他只能利用闲暇时间研究数学,但他对数论和微积分做出了第一流的贡献。并同巴斯卡(Passcal)一同开创了概率论的研究工作,他和笛卡尔都是坐标几何的发明者。
费尔马关于曲线的工作,是从研究古希腊几何学家,特别是阿波罗尼(Apollonius)开始的。阿波罗尼的《论平面轨迹》一书久已失传,而费尔马是把它重新写出来的人之一。他用代数来研究曲线。他说,他打算发起一个关于轨迹的一般研究,在这种研究是古希腊人没做到的。1629年他写了一本《平面和立体的轨迹引论》(1679年发表),书中说,他找到了一个研究有关曲线问题的普遍方法。
费尔马的坐标几何研究怎样产生的,我们不知道,很可能把阿波罗尼的结果,直接翻译成代数的形式。他考虑任意曲线和它上面的一般点J,J的位置用A、E两个字母定出:A是从原点O沿底线到点Z的距离,E是从Z到J的距离。它所用的坐标,就是我们现在的斜坐标。但是Y轴没有明白出现,而且不用负数,它的A,E就是我们现在的X,Y.
费尔马把他的一般原理,叙述为“只要在最后的方程里出现两各未知量,我们就得到一个轨迹,这两个量之一,其末端描绘出一条直线或曲线。”前文中对不同位置的E,其末端J,……就把“线”描出,它的未知量A和E,实际是变数。或者可以说,联系A和E的方程是不定的。他写出联系A、E的各种方程,并指明它们所描绘的曲线。例如,他给出方程(用我们现在的写法就是)d x = b y,并指出这代表一条直线。他又给出d (a-x) = b y,并指出它也表示一条直线。方程p2-x2 = y2代表一个圆。a2+x2 = k y2和xy = a各代表一条双曲线,x2 = ay代表一条抛物线,而且费尔马确实领悟到坐标轴可以平移和旋转。因为他给出一些较复杂的二次方程,并给出它们可以简化到的简单形式。他肯定地得到如下结论:一个联系着A、E的方程,如果是一次的就代表直线,如果是二次的就代表圆锥曲线。
笛卡尔,首先是一位杰出的近代哲学家。他是近代生物学的奠基人、第一流的物理学家,同时也是一位数学家。它的父亲是一位相当富有的律师。笛卡尔大学毕业后去巴黎当律师,在那里他花了一年的时间,跟两位神甫一起研究数学。其后九年中,他曾在几个军队中服役,但他一直研究数学。在荷兰布莱达地方的招贴牌有一个挑战性的问题,被他解决了。这使他自信有数学才能,从而开始用心于数学。回到巴黎后,他为望远镜的威力所激动,又一心钻研光学仪器的理论和构造。1682年他32岁时移居荷兰,得到较为安静自由的学术环境,在那里住了二十年,写出了著名的作品。1649年他被邀请去做瑞典女皇的教师,第二年在那里患肺炎逝世,享年五十四岁。
1637年笛卡尔写的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书出版,这是一本文学和哲学的经典著作,包括三个著名的附录:《几何》、《折光》和《陨星》。《几何》是他所写的唯一一本数学书,他关于坐标几何的思想,就包括在它的这本《几何》中。笛卡尔的其他著作有《思想的指导法则》,《世界体系》,《哲学原理》,《音乐概要》。
笛卡尔是通过三个途径来研究数学的,作为一个哲学家,他把数学方法看作是