文档介绍：第7讲立体几何中的向量方法(一)【2015年高考会这样考】、线面、.【复****指导】本讲复****中要掌握空间向量的坐标表示和坐标运算,会找直线的方向向量和平面的法向量,并通过它们研究线面关系,(1)数量积的坐标运算设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则①a±b=(a1±b1,a2±b2,a3±b3);②λa=(λa1,λa2,λa3);③a·b=a1b1+a2b2+a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R),a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均为非零向量).(3)模、夹角和距离公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|==,cos〈a,b〉==.设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则dAB=||=.(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称为直线l的方向向量,与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.②平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为(2)用向量证明空间中的平行关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.②设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x,y,使v=xv1+yv2.③设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.④设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β⇔u1∥u2.(3)用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2=0.②设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0.(4)点面距的求法如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离d=.一种思想向量是既有大小又有方向的量,而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范,是对向量大小和方向的量化:(1)以原点为起点的向量,其终点坐标即向量坐标;(2),可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系,:(1)平行(2)垂直(3)点到平面的距离求点到平面距离是向量数量积运算(求投影)的具体应用,也是求异面直线之间距离,=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是( ).∵v2=-2v1,∴v1∥ (1,-1,2),平面α的一个法向量是n=(6,-3,6),则下列点P中在平面α内的是( ).(2,3,3) (-2,0,1)(-4,4,0) (3,-3,4)解析∵n=(6,-3,6)是平面α的法向量,∴n⊥,在选项A中,=(1,4,1),∴n·= A3.(2011·唐山月考)已知点A,B,C∈平面α,点P∉α,则·=0,且·=0是·=0的( ). ,得·(-)=0,即·=0,亦即·=0,反之,若·=0,则·(-)=0⇒·=·, A4.(人教A版教材****题改编)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ).∥c,b∥c ∥b,.a∥c,a⊥b ∵c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,∴a∥c,又a·b=-2×2+(-3)×0+1×4=0,∴a⊥ C5.(2012·舟山调研)已知=(2,2,1),=(4,5,3),=(x,y,z).则即令z=1,得∴n=,∴平面ABC的单位法向量为±=±.答案±考向一利用空间向量证明平行问题【例1】►如图所示,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,M、N分别是C1C