高等代数专题研究学习辅导(2).doc

文档介绍：高等代数专题研究学习辅导(2)
代数运算与二元运算
1. 代数运算设A是一个非空集合, A2=A×A到A的一个映射(函数)f:A2®A称为A上的一个二元代数运算,简称二元运算. A到A的映射f:A®A称为A上的一个一元代数运算,或简称一元运算.
类似地, An到A的一个映射(函数)f:An®A称为A上的一个n元代数运算,简称n元运算.
简单地说,集合A中的任意两个元素,经f作用(或变换,或运算)后,变成集合A的一个元素,这个元素必须是集合A的元素.
如数的“+”,“-”,“×”,“¸”.
在自然数集N中,即A=N,显然“+”,“×”是N上的二元运算,即"x,yÎN,有
x+y=zÎN,x×y=kÎN.
“-”,“¸”不是N上的二元运算.
易知,数的“+”,“-”,“×”是整数集Z,有理数集Q,实数集合R上的二元运算,但数的“¸”;“数的“¸”在Z,Q,R上不封闭.
°,*,· 等符号表示,称为算符.
设f:A×A®A是A上的二元运算. "x,yÎA,如果x,y的运算结果是z, 即
f(<x,y>)=z
如果用算符*表示,简记为x*y=z.
例1 设实数集合R,定义R上的二元运算*:"x,yÎR,有
x*y=y
试计算2*3;*();341*0
解 2*3=3 *()=;341*0 =0
注:所谓运算就是一种规定,如本例两个元素的结果等于右边的元素;也可以规定两个元素运算结果等于左边的元素;也可以规定:"x,yÎA,x*y=2x+y,,在讨论这个问题时,就必须严格按照这个规定做下去.
例2 再看几个一元运算或二元运算例子.
(1) 设Mn(R) 是n阶实矩阵全体组成的集合,那么矩阵乘法是Mn(R)上的二元运算;
(2) 集合的并、交和对称差是幂集上的二元运算;集合的补“~”是幂集合上的一元运算;
(3) 求一个数的相反数,是整数集合Z、实数集合R和有理数集合Q上的一元运算;
(7) 求一个数x的倒数在非0有理数集合和非0实数集合上是一元运算.
对于有限集合A上的一元运算和二元运算可以使用函数f的表达式表示,也可以用运算表表示.
例3 设A={1,2},给出幂集P(A)上的运算Å和~的运算表. 其中全集合是A, Å为对称差,~为补运算.
解因为P(A)={Æ,{a},{b},{a,b}},根据集合的对称差Å的定义:AÅB=(AÈB)-(AÇB).
有运算表Å与~的运算表
Å
Æ
{1}
{2}
{1,2}
ai
~aI
Æ
Æ
{1}
{2}
{1,2}
Æ
{1,2}
{1}
{1}
Æ
{1,2}
{2}
{1}
{2}
{2}
{2}
{1,2}
Æ
{1}
{2}
{1}
{1,2}
{1,2}
{2}
{1}
Æ
{1,2}
Æ
2. 二元运算的主要性质
交换律设°为集合A上的二元运算,如果对"x,yÎA,都有x°y=y°x,则称运算° 在A上是可交换