文档介绍：第一节直与曲
第二节常量与变量
第三节连续与间断
第四节有限与无限
第五节抽象与具体
第六节局部与整体
第七节偶然性与必然性
第五章高等数学中的辩证思想方法
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第一节直与曲
直与曲是两个完全不同的数学概念. 从直观形象看,前者平直后者弯曲;从几何特性来看,前者曲率为0,后者曲率不恒为0;从代数表达式来看,前者是线性方程,后者是非线性方程. 因此, 直与曲的差别是明显的, 那么这两个差别如此显著的对立概念是否存在内在联系,能否在一定条件下互相转化呢?
恩格斯曾经指出,“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾,在一定条件下直线和曲线应当是一回事.”
高等数学正是利用直与曲以及其它一些矛盾的转化达到了初等数学所不能达到的目的.
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从高等数学的思想方法中可以看出,直与曲除了有非直即曲的一面,也存在亦直亦曲的一面. 存在直与曲之间的中介状态,通过这个中介状态实现直与曲的转化. 比如,曲线的渐近线是指, 在曲线无限延伸时与一条定直线“无限接近,但永不相交”, 其数学表达式如下确定:
设曲线为y=f(x),其渐近线为y = k x+b, 则
问:对于任意大的正数X, 曲线y=f(x)上当>X 时的那一部分是曲线还是直线?
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答案当然应该是曲线,因为这部分是整个曲线y=f(x)的一部分,这部分上每一点的曲率都不为0. 但它又很象直线,而且延伸越远就越象直线, 虽然每点曲率均不为0,但在延伸过程中,曲率无限趋近于0. 因此,在无限延伸部分就很难分出它是直线还是曲线,可以说它是“亦直亦曲”,是直线与曲线之间的一种中间状态. 既是带有直线性质的曲线,也是具有“曲”性的“直线”,是直与曲对立的“中介”,它处于“亦直亦曲”的状态.
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在高等数学中,利用直与曲的这种中介状态, 实现局部范围内的“以直代曲”,是高等数学中的一种基本的辩证思想方法.
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第一步:化整为零. 首先,把曲边梯形的底边任意分成n段,然后以每一小段为底边,用平行于y轴的直线把曲边梯形分割成n个小的曲边梯形.
第二步: 以直代曲. 在每个小曲边梯形中把曲边看成直边,于是就可以用这些小“直边矩形”的面积近似地代小曲边梯形的面积. 这样在分割的条件下实现了局部的“以直代曲”.
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第四步:取极限. 通过取极限,再把分割无限加细,近似程度会越来越高,从而使小直边矩形面积的和转化为原来曲边梯形的面积.
这样一来,局部的“直”经过无限积累又反过来转化为整体的“曲”,最后得出了曲边梯形的面积. 这就是定积分定义中分割、求和、取极限的辩证思维过程.
第三步:积零为整. 把n个小“直边矩形”的面积累加起来,用这n个小直边矩形的面积之和在整体上近似地代替原曲边梯形的面积. 这种代替当然是有误差的, 为了消除这种误差,还需进行第四步.
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例2 已知物体Ω在区间[a,b]上任意一点x处的平行截面积为A(x), 求物体的体积V.
微元法:
在任意一点x处作x的微元dx, 过x与x + dx作垂直于x轴的平面, 截得物体Ω的面积分别为A(x)与A(x + dx). 一般地说,A(x)与A(x +dx)是不相等的,从物体Ω中截得的部分是以A(x)与A(x+dx)为上、下底的曲柱体. 但由于dx很小, 因此可以“以直代曲”. 将截得的曲柱体近似的看作以A(x)为底,以dx为高的直柱体, 于是得体积微元A(x)dx (图5-4). 然后将体积微元在[a, b]上累积起来,就得到物体Ω的体积V.
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例3 已测得某水库深水体积V(万方)和水深H(米)之间的对应数值表
H((米)
0
5
10
15
20
25
30
35
V(万方)
0
15
45
119
205
315
460
610
利用描点法描出的曲线近似抛面线
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假设 V = aH2,
作变换 H2 = h, V = v,
曲线方程 V = aH2
转化为直线方程 v = ah,
得对应的数值表
h=H2
0
25
100
225
400
625
900
1225
v
0
15
45
119
205
310
460
610
在hv直角坐标系中描点,用直线型经验公式可确定出
v = .
然后再代回曲线方程,得
V = .
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必须指出:“直曲转化”是有条件的,并非任何情况下都
可“以直代曲”.
如,求半径为r的半圆周长.
如果我们不是用弦来代替圆弧,而是用平行于直径的线段来代替圆弧, 则结果求得半圆周长为2r ;
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如果我们用平行于直径的线段与垂直,于直径的线段构成的折线段来代替圆弧,则结果求得半圆周长为4r .