文档介绍：第十一讲高考数学能力型问题
高考数学能力型问题主要包括:
(1)学习数学知识的能力型问题
(2)探究数学问题的能力型问题
(3)应用数学知识解决实际问题的能力型问题
(4)数学创新能力型问题
一、学习能力型问题
学习新的数学知识的能力指的是通过阅读,理解以前没有学过的新的数学知识(包括新的概念、定理、公式和法则等),并能运用它们作进一步的运算推理,.
例1 对任意两个集合X和Y,X-Y指所有属于X但不属于Y的元素的集合,X和Y的对称差XY规定为
XY =(X-Y)∪(Y-X).设A={y y=x2,x∈R},
B={y y=3sinx,x∈R},求AB.
分析: ∵ A=0,+∞,B= [-3,3],
∴ A-B=(3,+∞, B-A=[-3,0),
故,AB=[-3,0)∪(3,+∞.
例2 若an=log (n+1) (n+2)(n∈N),我们把使乘积a1a2a3…an为整
数的数n叫做“劣数”.则在区间(1,2002)内所有劣数的和为.
分析:
a1a2a3…an= log23×log34× log45× …×log (n+1) (n+2)= log2 (n+2),
设log2 (n+2)为整数m, 即log2 (n+2)=m,n=2m -2. 则
1<2m-2<2002,得:m=2,3,4…,10,故,所有劣数的和为s=(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(210-2)=2026.
这里的“劣数”是指自然数n,而不是an;
例3 三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为凹数,如524,,各个数位上无重复数字的三位凹数共有个.
分析:
,共有C10 种方法,
再将取出的3个数中的最小的数字放在十位上,其它两个数字任意排列,共有P2种方法,
故这样的凹数共有C10·P2=240个
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例4 阅读不等式2x+1>3x的解法:
设函数f(x)= + ,函数y= 和y= 在(-∞,+∞)内都单
调递减,若x1<x2 ,则> , > ,∴ f(x1)>f(x2),
即 f(x)在(-∞,+∞)内单调递减. ∵ f(1)=1, ∴
当x<1时, + >1,当x≥1时, + ≤1.∵ 3x>0,
∴不等式2x+1>3x的解为x<1 .
(1)试利用上面的方法解2x+3x≥5x ;
(2)证明:3x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2 .
设f(x)= + ,函数y= 和y= 在(-∞,+∞)内都单调
递减,若x1<x2 ,则> , > ,
∴ f(x1)>f(x2) , 即 f(x)在(-∞,+∞)内单调递
减.∵ f(1)=1, ∴当x≤1时, + ≥1,
当x>1时, + <1,∵ 5x>0,∴不等式2x+3x≥5x
的解为x≤1 .
(2)解不等式 3x+4x>5x和3x+4x<5x .
∵当x=2时,32+42=52,∴ x=2是方程3x+4x=5x的一个实数解.
设f(x)= + ,
∵函数y= 和y= 在(-∞,+∞)内都单调递减,
∴ f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.
∵ f(2)=1,∴当x<2时, + >1,
当x>2时, + <1,
因此,方程+ =1只有一个实数解x=2,
即,方程3x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2 .
例5. 设函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使f(x0)= x0成立,则称
以(x0,y0)(这里y0= f(x0))为坐标的点是函数f(x)的图象上的“稳定点”.
(Ⅰ)若函数 f(x) = 的图象上有且仅有两个相异的“稳定点”,
试求实数a的取值范围;
(Ⅱ)已知定义在实数集R上的奇函数f(x)存在有限个“稳定点”,
求证:f(x)必有奇数个“稳定点”.
设P(x1,x1),Q(x2, x2)(x1≠x2)是函数f(x)=
的图象上两个的“稳定点”,
分析:
则有= x1及= x2,
即 x12+ax1=3x1-1(x1≠-a)及 x22+ax2=3x2-1(x2≠-a),
(Ⅰ)
亦即 x12+(a-3)x1+1=0(x1≠-a)及x22+(a-3)x2+1=0(x2≠-a) .
∴ x1, x2是方程x2 +(a-3)x+1=0的两根,
∵ x1≠-a,x2≠-a .
∴方程x2 +(a-3)x+1=0有两个相异实根且不等于-a ,
∴=(a-3) -4×1>0且(-a)+(a-3)(-a)+1≠0,
解得: a的取值范围为(-∞,- )∪(- ,1)∪(5,+∞