2011中考冲刺数学专题6_——综合型问题.doc

文档介绍：2011中考冲刺数学专题6——综合型问题
【备考点睛】
综合型问题是在相对新颖的数学情境中综合运用数学思想、方法、知识以解决问题,涉及的主要知识点有代数中的方程、函数、不等式,几何中的全等三角形、相似三角形、解直角三角形、四边形和圆;涉及的主要思想方法有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等;要求学生具有融会贯通迁移整合知识的能力、分析转化与归纳探索的能力、在新情境下解决新问题的创新能力.
学生做好以下两项工作,解决综合型问题的水平将有较大提高:①全面掌握初中数学的基础知识、方法、技能,熟练掌握重点、热点知识及重要的数学思想、方法,注重归纳整理形成整体,防止知识出现断链。②适度进行综合性训练并善于总结解题体会,对知识形成发散、迁移及应用能力,提高解题技能,体会数学思想与方法的运用,形成解题策略,如运用转化思想解决几何证明问题,运用方程思想解决几何计算问题,借助几何直观去分析、推理等.
【经典例题】
类型一、以几何图形为背景的综合题
例题1 (2010四川攀枝花)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=2,点P是边BC上的动点(点P不与点B、C重合),过点P作直线PQ∥BD,交CD边于Q点,再把△PQC沿着动直线PQ对折,点C的对应点是R点。设CP=x, △PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y。
(1)求∠CPQ的度数。
(2)当x取何值时,点R落在矩形ABCD的边AB上?
(3)当点R在矩形ABCD外部时,求y与x的函数关系式。并求此时函数值y的取值范围。
解答:(1)∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD,AD=BC 又AB=6,AD=2,∠C=90°
∴CD=6,BC=2 ∴tan∠CBD== ∴∠CBD=60°
∵PQ∥BD ∴∠CPQ=∠CBD=60°
(2)如题图(1)由轴对称的性质可知△RPQ≌△CPQ
∴∠RPQ=∠CPQ,RP=(1)知∠RPQ=∠CPQ=60° ∴∠RPB=60°,∴RP=2BP
∵CP=x ∴RP=x ,PB=2-x.
∴在△RPB中,有2(2-x)= x ∴x=
(3)当R点在矩形ABCD的外部时(如题图),﹤x﹤2
在Rt△PBF中,由(2)知PF=2BP=2(2-x)
∴RP=CP=x ∴ER=RF-PF=3x-4
在Rt△ERF中∵∠EFR=∠PFB=30° ∴ER=RF·tan30°=x-4
∴S△ERF=ER×FR=(x-4)( 3x-4)=-12x+8
又S△PQR=S△CPQ=x×x=
∵y=S△PQR-S△ERF ∴当﹤x﹤2时,
函数的解析式为y=-(-12x+8)
=-+12x-8 (﹤x﹤2)
∵y=-+12x-8 =-(x-2)+4
∴当﹤x﹤2时,y随x的增大而增大
∴函数值y的取值范围是﹤y﹤4
例题2 (2010 山东东营) 如图,在锐角三角形ABC中,,△ABC的面积为48,D,E分别是边AB,AC上的两个动点(D不与,重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点的异侧作正方形DEFG.
当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长;
B
A
D
E
F
G
C
M
N
(2)设DE = x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为,试求关于的函数关系式,写出x的取值范围,并求出y的最大值.
解答:(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,如图(1),
过点A作BC边上的高AM,交DE于N,垂足为M.
∵S△ABC=48,BC=12,∴AM=8.
∵DE∥BC,△ADE∽△ABC,
∴,
B
A
D
E
F
G
C
而AN=AM-MN=AM-DE,∴.
解之得.
∴当正方形DEFG的边GF在BC上时,.
(2)分两种情况:
①当正方形DEFG在△ABC的内部时,如图(2),△ABC
与正方形DEFG重叠部分的面积为正方形DEFG的面积,
∵DE=x,∴,此时x的范围是≤
②当正方形DEFG的一部分在△ABC的外部时,
如图(2),设DG与BC交于点Q,EF与BC交于点P,
M
B
A
D
E
F
G
C
N
P
Q
△ABC的高AM交DE于N,
∵DE=x,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,分
即,而AN=AM-MN=AM-EP,
∴,解得.
所以, 即.
由题意,x>,x<12,所以.
因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为
(0< x≤)

当≤,△=
当时,因为,所以当时,
△ABC与正方形DEFG重