文档介绍：:复数是实数的扩充推广,复数可表示成直角坐标系XOY上的点,也可由有序实数对(x,y)定义,记为z=(x,y)或者z=x+iy,实数x可以看成实轴上上的点(x,0)或者z=x表示。=x+iy由一对有序实数(x,y)唯一确定。??22??sin?cosxiz?x?iy??y通过直角坐标与极坐标的关系:?i??sin??cosei成表示拉引进欧公式:z则可的在三角表示法基础上,?i22e?xy???iier,zz?re?则212112zr???????i???iezz?rr11???n??innnierrez??n??????ni?coscosn?isinsin?1r?时,得到德魔符公式:当多值复数的根-3.??k?2i?innn,k?0,1,L,?z?reren?????,2,1Ln?x?iy?:。记为称为复数序列,nnnn????yx一个复数序列等价于两个实数序列和的有序组合。???z?xiy,y??xx,limylimzlimz?的充要条件是当时,。0nn0n00n00nn????nn??,自变量及函数值的取值范围相应的推广到复平面上的点集(称为定义域和值域)。????????????zz?z?0,,z?c,,Uz记为邻域:集合00单联通区域:中间没孔(圆域)。多连通区域:中间有孔(圆环域)。?u?wiy?x?z与之对应,则称,均存在另外一个复数若对区域D内任意复数??zw?f平面;称该平面为是z的复变函数,记为z。把集合D表示在一个复平面上,w??zw?fw把相应的函数值平面。表示在另一个复平面上,?????zfw??z?z?0?wz?zfw?时的当z则称,有是函数趋于只要0000极限。.??zfw?D???zzD?z,如果如下极限,D在区域定义:设函数内有定义,00存在:????z?zff?z?00limz?0??z则称此极限为导数。可导的充要条件2.??????????yxy?iv,xyux,yvf,z?ux,在、1可导的充要条件是:(函数)在点z????y,xux,yv(x,y)处可导;(-满足柯西黎曼方程:2)、?u?v?u?v?,??x?y?y?x?u??vv?u????z??if'?i且yx??y?x???????zzzfffzzzz是则称处解析,并称在如果处处可导,及在的某个邻域内0000的解析点。??zf的不解析点。奇点:注意:解析必可导,可导比一定解析。。???yx,在区域二元实变函数定义:D内具有二阶连续的偏导数,且满足拉普拉斯方程22???????yx,0??是在区域,则称D内调和函数。22y?x?区域D内解析函数的实部和虚部均为D内的调和函数。????yv,x,yxu均为调和函数,且满足柯西-、黎曼方程,则称定义:若在区域D内,v为u的共轭调和函数。(但不能说u是v的共轭调和函数)(1)不定积分法(2)曲线积分法(3)?i2e?w指数函数为周期的周期函数是单值函数。?iziz?izeee?e?sinz?,cosz?2i2sinz?1,cosz?1在复数范围内,不成立。??k?2。z复变函数的多值性体现在:幅角的多值性,平面上一个点的幅角是多值函数的定义:z平面上一个点对应w平面上多个点一个单值分支:对每个自变量z只保留多值函数一个对应值而将其他对应值舍去的办法达到的单值连续函数。%z?z的充分小的简单闭曲线运动一周时,多值函数单值分支的枝点:当z沿着包含某定点%z?z为多值函数的枝点。值发生改变时,称%z?z做一条延伸到无穷远处的曲线,称为割线。割线:从多值函数的枝点w?lnz)(3????k?i2re?lnw?lnz????kz?i?2=lniArgzz=ln?对于一个固定的复数z,对数函数将其对应为无穷多个复数,这些复数的实部都是相同?zln2点,为的整数倍。,而虚部两两相差zargz,而任确定单值分支的一个方法:在z平面上,首先规定好的一个幅角值0z?z0z的幅角值与幅角该变量之和:z的幅角