文档介绍：《高观点下中学数学---代数学》1
1、叙述自然数a>b的定义。
如果对给定的两个自然数a与b,存在一个数k,使得a=b+k,则称a大于b,记为a>b
2、若|A|=m |B|=n,则A→B的所有不同映射共有多少个?
3、若A是有限集合,则A→A的不同映射共有多少个?

4、若A是有限集合,则是否存在一个A到其真子集合的单映射?请解释原因。
5、从整数集合Z到自然数集合N是否存在一个单映射?请解释原因。
存在,因为
6、请叙述自然数加法定义中的两个条件。
(1)、对于任意数a有a+1=
(2)、对于任意数a和b有
7、请叙述自然数乘法的定义。
自然数的乘法是指这样的对应,由于它对于每一个自然数a与b,有且仅有一个自然数
a×b与与对应并具有下面性质:⑴对于任何a,a×1=a
⑵对于任何a与b,
8、分别利用归纳法与反归纳法证明算术均值大于等于几何均值(n个数)。
归纳法根据定义易证,在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,都成立,假设命题对n=k成立,令,利用证之成立
9、令为正有理数集合,若规定问:(1){,}是否构成代数体系,是否满足结合律;(2){,}是否构成代数体系,是否满足结合律。
(1)、
(2)、
10、若在实数集合中规定:=a+b-a×b,其中+与×是通常的加法与乘法,求证满足结合律。

11、求自然数N到整数集合Z的(1)一个单满映射;(2)一个满映射但不是单映射。
(1)、
12、求证代数系统{,×}和代数系统{R,+}是同构的,其中表示正实数集合,R表示实数集合,+与×就是通常的实数加法与乘法。

13、若A为无限集合,则A与自然数N等价还是与其真子集合等价?请解释原因。
A与其真子集合等价,因为它们的基数相同。
14、等号成立的条件是什么?
15、f(x)=(x>0)则k满足什么条件时,f(x)为下凸函数?

16、若x>0,y>0,z>0,且满足2+3+4=10,求5x+6y+7z的极大值。

17、若x>0,y>0,z>0,且满足+2+3=15 求2x+3y+4z的极大值。

18、若x>0,y>0,z>0,且满足2+3+4=10 求3x+4y+5z的极大值。
解:设L(x、y、z)=3x+4y+5z+λ(2+3+4-10),Lx=3+λ·4x=0, Ly=4+λ·6y=0,
Lz=5+λ·8z=0,Lλ=2+3+4-10=0,得稳定点x=,y=,z=,
3x+4y+5z的极大值为。
19、求证圆内接n边形以正n边形面积最大(半径为R)。
解:S=,,
令L()=-λ(). L,L,
……L,,稳定点α1=α2=……=αn=,知该稳定点为唯一的极大值点,也是最大值点,从而该n边形为正n边形。
20、等号成立的条件是什么?
答:。
21、下面函数满足什么条件时是上凸函数:(1);(2)(x)=㏑x(3)(x)=,k>1?
答:(1),当x∈[2kπ,2kπ+π]时,
(2),总是上凸的,
(3),当x<0且k为奇数时,为上凸函数。
22、求证(++……),0 =1,2,……n
证明:, 。两式相乘得证。
23、若++…+=1,,且, i=1,2…n,求证: ++…+
24、当k满足什么