文档介绍：2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学****能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:一、裂项放缩例1.(1)求的值;(2)求证:.解析:(1)因为,所以(2)因为,所以奇巧积累:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(11)(12)(13)(14)(15)(15)例2.(1)求证:(2)求证:(3)求证:(4)求证:解析:(1)因为,所以(2)(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的,:解析:一方面:因为,所以另一方面:当时,,当时,,当时,,所以综上有例4.(2008年全国一卷)..设,:.解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,,因为,,求证:.解析:首先可以证明:所以要证只要证:故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,,,求证:.解析:,,求证:证明:,因为,所以所以二、:.解析:先构造函数有,:(1)解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式:,:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,:::解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:(加强命题):解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,:,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路:。于是,即注:题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:,即例15.(2008年厦门市质检)已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.(I)求证:函数上是增函数;(II)当;(III)已知不等式时恒成立,求证:解析:(I),所以函数上是增函数(II)因为上是增函数,所以两式相加后可以得到(3)……相加后可以得到:所以令,有所以(方法二)所以又,所以例16.(2008年福州市质检)已知函数若解析:设函数∴函数)上单调递增,在上单调递减. ∴的最小值为,即总有 而即 令则三、分式放缩姐妹不等式:和记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b,若b小,则不等号是小于号,:和也可以表示成为和解析::解析:运用两次次分式放缩:(加1)(加2)相乘,可以得到:所以有四、:解析:例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编)在平面直角坐标系中,轴正半轴上的点列与曲线(≥0)上的点列满足,,.(1)证明>>4,;(2)证明有,使得对都有<.解析:(1)依题设有:,由得:,又直线在轴上的截距为满足显然,对于,有(2)证明:设,则设,则当时,。所以,取,对都有:故有<成立。例23.(2007年泉州市高三质检)已知函数,若的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列满足,记数列的前项和为,问是否存在正常数A,使得对于任意正整数都有?并证明你的结论。解析:首先求出,∵∴,∵,,…,故当时,,因此,对任何常数A,设是不小于A的最小正整数,则当时,.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,,当时,求证:.解析:容易得到,所以,要证只要证,因为,、,求证:当时,解析:通过迭代的方法得到,,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k-Sn|<解析:又所以六、:解析:设则,从而,:解析:设则,从而,,求证:解析:所以就有七、:对任意的整数,有解析:容易得到,由于通项中含有,很难直接放缩,考虑分项讨论:当且为奇数时(减项放缩),于是①当且为偶数时②当且为奇数时(添项放缩)由①知由①②得证。八、