文档介绍：均值不等式求最值的方法均值不等式是求函数最值的一个重要工具,同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。一、几个重要的均值不等式①当且仅当a=b时,“=”号成立;②当且仅当a=b时,“=”号成立;③当且仅当a=b=c时,“=”号成立;④,当且仅当a=b=c时,“=”:①注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;②熟悉一个重要的不等式链:。二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧1、求几个正数和的最小值。例1、求函数的最小值。解析:,当且仅当即时,“=”号成立,故此函数最小值是。评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。2、求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值:①②解析:①,∴,当且仅当即时,“=”号成立,故此函数最大值是1。②,则,欲求y的最大值,可先求y2的最大值。,当且仅当,即时,不等式中的“=”号成立,故此函数最大值是。评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。3、用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x、y,求的最小值。解法一:(单调性法)由函数图象及性质知,当时,函数是减函数。证明:任取且,则,∵,∴,则,即在上是减函数。故当时,在上有最小值5。解法二:(配方法)因,则有,易知当时,且单调递减,则在上也是减函数,即在上是减函数,当时,在上有最小值5。解法三:(导数法)由得,当时,,则函数在上是减函数。故当时,在上有最小值5。解法四:(拆分法),当且仅当时“=”号成立,故此函数最小值是5。评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法、导数法具有一般性,配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。4、条件最值问题。例4、已知正数x、y满足,求的最小值。解法一:(利用均值不等式),当且仅当即时“=”号成立,故此函数最小值是18。解法二:(消元法)由得,由则。当且仅当即时“=”号成立,故此函数最小值是18。解法三:(三角换元法)令则有则,易求得时“=”号成立,故最小值是18。评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:。原因就是等号成立的条件不一致。5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数满足,试求、的范围。解法一:由,则,即解得,当且仅当即时取“=”号,故的取值范围是。又,当且仅当即时取“=”号,故的取值范围是解法二:由,知,则,由,则:,当且仅当,并求得时取“=”号,故的取值范围是。,当且仅当,并求得时取“=”号,故的取值范围是。三、用均值不等式求最值的常见的技巧1、添、减项(配常数项) 例1求函数的最小值. 分析:是二项“和”的形式,但其“积”,即其积为定积1,因此可以先添、减项6,即,再用均值不等式. 当且仅当,即时,. 评注为了创造条件利用均值不等式,添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变,添项后一定要再减去同一项. 2、配系数(乘、除项) 例2已知,且满足,求的最大值. 分析,是二项“积”的形式,但不知其“和”的形式是否定值, 而已