矩阵与伴随矩阵的关系..docx

文档介绍：方阵 A 与其伴随矩阵 A * 的关系摘 要 本文给出了 n 阶方阵 A 的伴随矩阵 A *的定义,讨论了 n 阶方阵 A 与其伴随矩阵 A * 之间的关系,例如 A 与 A * 之间的关系, 矩阵、伴随矩阵、关系、证明在高等代数课程中我们学****了矩阵,伴随矩阵。它们之间有很好的联系,对我们以后的学****中有很大的用处。 n 阶方阵(  )ç a12=çMç aèn1 ÷÷ . 令M        ML   a   ÷ø(  )n´nç A12=çMç AèL A   ÷M  ÷A   ÷øA = aij n´næ aç 11ç1na L a ö21a L a ÷22 n2a2n nn÷A* = Aijæ Aç 11ç1nA21A22MA2nLL A ön1 ÷n 2÷nn, 其中 A 是 aij A   为 A  AA   = A A = det AI .当 A 可逆时,有 A -1 =*A 与其伴随矩阵 A * 的关系及其证明.* *1det AA* ,即 A* = det AA -1 [1].î   0, 若 i ¹   j ;证明:因为ì det A , 若 i = j ,a A  + a A  + L + a A  = íi1   j 1      i 2   j 2              in   jn= í0, 若 i ¹   j ;a A1 i 1 j+ a A2 i2 j+ L + a Aninjì det A , 若 i = j ,îM      M         M ÷ =  det AI .所以 AA   = A A = çç   0    0   L   det A ÷øAç     A* ÷ = æç 1æ det A 0 L 0 öç ÷ç 0 det A L 0 ÷* *ç ÷è当 A 是可逆矩阵时, det A ¹ 0 ,所以由上式得æ 1 ö öA* ÷ A = Iè det A ø è det A ø即A-1 =1det AA* .* = (A   T(A T )    * ) .(显然) 若 A 可逆,则* = (A -(A-1 )   * )1 .(显然)r A*  = í1   r (A) = n - 1 [2]. 设 A 为 n 阶方阵 (n ³ 2),则( ) ïì0 r (A) < n - 1îï n r (A) = n引理  n ´ n (n ³ 2)矩阵 A , B 满足 AB = 0 ,则 r (A)+ r (B ) £ n .证明 因为 AB = 0 ,所以 B 的列向量是以 A  r (A) = n ,则det A ¹ 0 .由克拉默法则知,方程只有零解,从而 B = 0 ,进而 r (B ) = 0 ;若 r A  = r < n , 则方程组的基础解系中含 n - r   个向量 , 于是  r (B ) £ n - r( ), 因此有⑵当 r A  = n - 1 时, det A = 0 ,   AA   * = det AI = 0  . 由引理   1  知 ,