文档介绍：不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析一、不等式恒成立问题问题引入:已知不等式对恒成立,其中,求实数的取值范围。分析:思路(1)通过化归最值,直接求函数的最小值解决,即。思路(2)通过分离变量,转化到解决,即。思路(3)通过数形结合,化归到作图解决,即图像在的上方。小结:不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值:(1)若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上的下界大于A;(2)若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上的上界小于B。tg(t)o·1图1t=m例已知对任意恒成立,试求实数的取值范围。解:等价于对任意恒成立,又等价于时,,则,所以2、分离参数法(1)将参数与变量分离,即化为(或)恒成立的形式;(2)求在上的最大(或最小)值;(3)解不等式(或),得的取值范围。例已知函数时恒成立,求实数的取值范围。解:将问题转化为对恒成立。令,则由可知在上为减函数,故∴即的取值范围为。注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。例已知二次函数,若时,恒有,求的取值范围。解:,,即(1)当时,不等式显然成立,(2)当时,由得 ,,.又,,.综上得,的取值范围为。3、数形结合法(1)若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方;(2)若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方。例设,,若恒有成立,-2-4yO-4分析:在同一直角坐标系中作出及的图象如图所示,的图象是半圆的图象是平行的直线系。要使恒成立,则圆心到直线的距离满足解得(舍去)例当时,不等式恒成立,:注意到函数,都是我们熟悉的函数,运用数形结合思想,可知要使对一切,恒成立,只要在内,,再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题,:设,,则要使对一切,恒成立,由图象可知,并且,故有,,又点评:通过上述的等价转化,使恒成立的解决得到了简化,其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。此外,从图象上直观得到后还需考查区间右端点处的函数值的大小。4、变换主元法例对于满足的一切实数,不等式恒成立,试求的取值范围。分析****惯上把当作自变量,记函数,于是问题转化为:当时,恒成立,,可想而知,这是相当复杂的。解:设函数,显然,则是的一次函数,要使恒成立,当且仅当,且时,解得的取值范围是。点评:本题看上去是一个不等式问题,但是经过等价转化,把它化归为关于的一次函数,利用一次函数的单调性求解,解题的关键是转换变量角色。例对任意,不等式恒成立,求的取值范围。分析:题中的不等式是关于的一元二次不等式,但若把看成主元,则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解:令,则原问题转化为恒成立()。当时,可得,不合题意。当时,应有解之得。故的取值范围为。注:一般地,一次函数在上恒有的充要条件为。例设函数,对任意,都有在恒成立,求实数的取值范围。分析:解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数。以本题为例,实质还是通过函数求最值解决。方法1:化归最值,;方法2:变量分离,或;方法3:变更主元,,简解:对于方法3:变更主元,原函数可以看成是关于的函数,只需即可,因为,所以当时有最大值在恒成立,只需。当时,,得的取值范围是。练****题1、设,当x[-1,+]时,都有恒成立,求a的取值范围。解:a的取值范围为[-3,1]2、R上的函数既是奇函数,又是减函数,且当时,有恒成立,求实数m的取值范围。tg(t)o·1图2t=m解:由得到:因为为奇函数,故有恒成立,又因为为R减函数,从而有对恒成立。设,则对于恒成立,设函数,(t)o·1图3t=m①当时,,即,又∴(如图1)②当,即时,,即,∴,又,∴(如图2)③当时,恒成立.∴(如图3)故由①②③可知:.3、若不等式对恒成立,实数a的取值范围是。4、若对于任意,不等式恒成立,求实数x的取值范围解:5、当时,不等式恒成立,则的取值范围__________解析:当时,由得.∴.O6、若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是________解析:对,不等式恒成立则由一次函数性质及图像知,即。二、不等式能成立问题若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上;若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的例已知不等式在实数集R上的解集不是空集,求实数的取值范围______解:例若关于的不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是__________解:,即解得或三、不等式恰好成立问题例不等式的解集为则__________:6例已知,当的值域是,试求实数的值。解:是一个恰成