文档介绍：Chapter3有限元分析的数学求解原理
口一般说来,求解方程的途径有两大类:
1)直接针对原始方程进行求解
2)间接针对原始方程进行求解
直接解法——解析法
口解析法从力平衡关系、几何关系以及物理关系出发,推导出一个
或一组关于应力或者关于应变、有时是同时含有应力、应变的微
分方程或偏微分方程,通过求解微分方程,解出应力、应变和变
形量。工程中,常采用的解析方法有材料力学中对杆件的分析,
弹性力学中平面问题的求解,板壳理论等。
口解析法的很多基本理论是建立在一些简化的假设基础之上的,经
过大量的工程实践,被证明能很好的符合构件实际工作情况,已
成为成熟的理论。解析法得到的结果是未知量(应力、应变等)
的函数解,可直接得到结构中任意点的精确解。解析法在分析理
论问题以及一些工程问题时起着重要作用。但是解析法在应用到
些形状复杂或应力分布复杂的结构时,往往由于数学上的问题
而显得无能为力,因而使解析法在应力分析中的应用受到限制。
直接解法——逆解法
根据问题的性质,确定基本未知量和相应的基本
方程,并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或
位移函数。然后在确定的坐标系下,考察具有确定的
几何尺寸和形状的物体,其表面将受什么样的面力作
用或者将有什么样的位移
直接解法——半逆解法
——对于给定的弹性力学问题,根据弹性体的几何形状
,受力特征和变形特点,或已知简单结论,如材料力学
解,假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为
已知,由基本方程确定其他的未知量,然后根据边界条
件确定未知函数中的待定系数。
逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中介绍,其求解过程带有
“试算”的性质。
直接解法—一有限差分法
口有限差分法:微分方程和积分微分方程数值解的方法。其基本思
想是
有限差分方法( finite difference method)是计算机数值模拟最早采用
的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,
用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以 Taylor?级数展
开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代
替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数
学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。
有限差分格式
口格式精度:一阶格式、二阶格式和高阶格式。
口差分的空间形式:中心格式
口时间因子:显格式、隐格式、显隐交替格式等。
法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分象
口构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方
向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为
一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间
这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式
间接解法—加权残值法:

一族带有待定参数的定义在全域上的近似函数,该近似
解不能精确满足微分方程和边界条件,
权平均的意义下消除残差,
于试函数定义在全域上,所得方程的系数矩阵一般为满
阵选取不同的权函数,可得到不同的加权参量法
间接解法—虚功原理:
虚功原理定义:弹性体处于平衡状态,对于满足变形连续条件的
虚位移及其虚应变,外力在虚位移上所做的虚功,等于真实应力
分量在对应的虚应变上所做的虚功,即虚应变能。
最小势能原理要求
δ=δU+6W=t
最后得
RSel old=Flss
间接解法——最小势能原理:
应变余能
应变能U=0d6
应变余能U
d o
应变能
δII=6(U-W)=0
有限元上的应用(位移法):
假设单元位移模式单元刚度方程