文档介绍：2017-1-14 节函数的凸性 2017-1-14 2 ., , 0 0 在取得极值则两侧异号在且导数的某邻域内有一阶在点设函数 fxf xf?(一)极值的第一充分条件定理 1: ; ,0)(),( ,0)(),(,0)1( 0 00 00 极小值取得在则内而在内使在若xfxfxx xfxx???????????; ,0)(),( ,0)(),(,0)2( 0 00 00 极大值取得在则内而在内使在若xfxfxx xfxx???????????一、极值与最值 2017-1-14 3 [证] (1) 0)(),(,0 00?????xfxx内使在若?????)(,),( 00xfxx内在?)()(,),( 0 00xfxfxxx??????0)(),(,0 00?????xfxx内使在又?????)(,),( 00xfxx内在?)()(,),( 0 00xfxfxxx??????. , 0 取得极小值在即xf 2017-1-14 4 ; ,0)()1( 0 0 取得极小值在则若xfxf???(二)极值的第二充分条件定理 2: .)(,0)(, 0 0 0 存在又且导数的某邻域内有一阶在点设函数 xfxf xf????. ,0)()2( 0 0 取得极大值在则若xfxf???[证] (1) 0)(,0)( 0 0?????xfxf有根据二阶导数定义, 0)( lim 0xx xf xx????0)( )()( lim 0 0 0 0??????????xfxx xfxf xx 2017-1-14 5 中有使在由极限性质),(,0, 0 0???????xx0 )( 0???xx xf0)(,),( 0 0????xfxx有内在?0)(,),( 00???xfxx有内在?. ,1 0 取得极小值在知根据定理 xf 2017-1-14 6 .)1()(]1[ 32 的极值求例xxxf??) ( 驻点和不可导点求可疑极值点 3 3 1 323 253 2)1()(x xxxxxf ????????5 2 ,0)(???x xf 2,0 . 0,???xx x 极值可疑点: 故有两个为导数不存在的点又[解] 2017-1-14 7 x)0,( ??0 )5 2,0(5 2),5 2( ??)(xf 0 ???不存在 0 极大值极小值 3 20 25 3?;,0)0( 极大值?f 极小值, 20 25 3)5 2( 3??f )3 25( )( 3x x xf?? 2017-1-14 8 的极值求例 3 3)(9 ]2[xaxy???) ()1( 驻点和不可导点求可疑极值点 2 2)( 27 3)(xaxxf????求导函数,0)(??xf令判断驻点是否为极值点)2( . 没有不可导点 axax2 3,4 3 2 1??得驻点: )89(6)( 54 6xaxaxy???????,0 18 )4 3(????aay ,0时当?a0 18 )2 3(?????aay [解] 2017-1-14 9 有极小值时当故yax,4 3? 3 16 9ay?极小值为有极大值时当yax,2 3? 34 9ay?极大值为时当同理可求得 0,?a 3 34 9)2 3( 16 9)4 3(aay y aay y??的极小值为的极大值为 2017-1-14 10 (二)函数的最大、最小值( A ) 闭区间上连续函数的最大、最小值欲求其最大、最小值设,],[:Rbaf?方法如下: ),,2,1(: ),()1(n ix baf i??不可导点上的所有驻点和在求?? nixfbfaf xf i bax,,2,1 ),( ),( ),( max )( max )2( ],[????