文档介绍：圆的参数方程湖南省永顺县第一中学授课人: 罗振明 1 复****它表示怎样的圆? (x-a) 2 +(y-b) 2=r 2,表示圆心坐标为(a,b),半径为 r的圆。 ? ? 则设( 终边上任意一点角, ),,r OP yxP??x yr yr x?????? tan , sin , cos 一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数t的函数,即为参数) ttgy tfx()( )(????? 2 探求:圆的参数方程∵点P在∠P 0 OP 的终边上, 如图,设⊙O的圆心在原点,半径是 轴正半轴的交点为 P 0 ,圆上任取一点 P,若OP 0 按逆时针方向旋转到 OP位置所形成的角∠P 0 OP =θ,求P点的坐标。根据三角函数的定义得 sin ,cos . y x r r ? ?? ? cos , sin . x r y r ????????( cos , sin ). P r r ? ??解:设P(x,y ), (1) 我们把方程组(1) 叫做圆心为原点、半径为 r的圆的参数方程。其中参数θ表示 OP 0到 OP 所成旋转角, 。 0 2 ? ?? ? 3 例1 如图,已知点 P是圆 O:x 2 +y 2=16上的一个动点 ,点A是x 轴上的定点 ,坐标为(12,0 ).当点 P在圆上运动时,求线段 PA 中点 M的轨迹方程,并说明点 M的轨迹图形是什么? ?解: 则圆的参数方程为: 取,??? xOP 为参数) ???(. sin 2 , cos 2?????y x由中点公式可得: ) 为( 的坐标则点的坐标为( 设点, sin 2, cos 2 ),,?? PyxM???? sin 2 sin 2,3 cos 2 6 cos 2??????yx所以,点 M的轨迹的参数方程是为参数) (?????????. sin ,3 cos y x注意: 轨迹是指点运动所成的图形; 轨迹方程是指表示动点所成图形所满足的代数等式。它表示( 3,0 )为圆心, 1为半径的圆 4 变式已知点 P是圆 O:x 2 +y 2=16上的一个动点 ,点B是平面上的定点 ,坐标为(12,2 ).当点 P在圆上运动时,求线段 PB 中点 M的轨迹方程,并说明点 M的轨迹图形是什么? 解: 则圆的参数方程为: 取,??? xOP 为参数) ???(. sin 2 , cos 2?????y x由中点公式可得: ) 为( 的坐标则点的坐标为( 设点, sin 2, cos 2 ),,?? PyxM1 sin 2 2 sin 2,3 cos 2 6 cos 2????????????yx所以,点 M的轨迹的参数方程是为参数) (??????????.1 sin ,3 cos y x它所表示的图形是以( 3,1 )为圆心, 1为半径的圆。 5 圆心为(a,b)、半径为 r的圆的参数方程为 x =a+r cos θ y =b+r sin θ(θ为参数) 得出结论: 探究过程请同学们课后完成 6 例2说明: 本例说明了圆的参数方程在求最值时的应用; ??????? sin 23 cos 21 sin 23 cos 21 (. sin 23 , cos 21 4)3()1 0322 22 22??????????????????????????yx P y x yx yxyx) , ( 则为参数) 其参数方程为( 可化为解:圆)4 sin( 2213 ??????已知点 P(x,y)是圆上的一个动点,求: x+y的最小值。 0322 22????yxyx2213)(1)4 sin( min????????yx时, 当?? 7 : (1)圆心在原点,半径为:______________; 3 (2)圆心为(-2,-3) ,半径为 1 : ______________. 3 x = cos θ y = sin θ 3 x =- 2+cos θ y =- 3+sin θ ,则其标准方程为:_________________. x =5cos θ+1 y =5sin θ-1(x-1) 2 +(y +1) 2 =25 x 2+y 2-2x +6 y +6=0, 则它的参数方程为_______________. x =1+2cos θ y =- 3+2sin θ 8 圆心为(a,b)、半径为 r的圆的参数方程为 x =a+r cos θ y =b+r sin θ(θ为参数) 思考: 圆的参数方程有什么特点? ?(