文档介绍：抽象函数的证明
一、定义域问题
例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。
解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足
从而函数f（x）的定义域是［1，4］
评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。
例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。
解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得
所以函数的定义域是
评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。
二、求值问题
例3. 已知定义域为的函数f（x），同时满足下列条件：①；②，求f（3），f（9）的值。
解：取，得
因为，所以
又取
得
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、解析式问题
例4. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f（x）的解析式。
解：在中以代换其中x，得：
再在（1）中以代换x，得
化简得：
评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中
“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
四、单调性问题
例5. 设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。
证明：在中取，得
若，令，则，与矛盾
所以，即有
当时，；当时，
而
所以
又当时，
所以对任意，恒有
设，则
所以
所以在R上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
五、奇偶性问题
例6. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。
解：取得：，所以
又取得：，所以
再取则，即
因为为非零函数，所以为偶函数。
六、网络综合问题
例7. 定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0<f（x）<1。
（1）判断f（x）的单调性；
（2）设，
，若，试确定a的取值范围。
解：（1）在中，令，得，因为，所以。
在中，令
因为当时，
所以当时
而
所以
又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意，均有。
设，则
所以
所以在R上为减函数。
（2）由于函数y=f（x）在R上为减函数，所以
即有
又，根据函数的单调性，有
由，所以直线与圆面无公共点。因此有，解得。
评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f（0）的取值问题，二是f（x）>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。
专题讲解
　
专题一、
一、求表达式：
：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ,求.
解：设,则∴∴
：在已知的条件下，把拼凑成以表示的代数式，，还能进一步复习代换法。
例2：已知，求
解：∵又∵
∴，(||≥1)
：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3．已知二次实函数，且+2+4,求.
解:设=，则
=比较系数得∴
:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
=为奇函数,当 >0时,,求
解:∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求<0时的表达式。∵->0,∴,
∵为奇函数，∴∴当<0时∴
例5．一已知为偶函数，为奇函数，且有+，求,.
解：∵为偶函数，为奇函数，∴,,
不妨用-代换+= ………①中的,
∴即－……②
显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出
二、利用函数性质，解的有关问题
：
例7 已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。
证明：令=0, 则已知等式变为……①
在①中令=0则2=2∵ ≠0∴=1∴∴∴为偶函数。

例8：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。
解：由得，∵为函数，∴
又∵在（-1，1）内递减，∴

例9：如果=对任