文档介绍：量纲方法与弹簧谐振周期的二级修正公式

周国全
(武汉大学物理学院物理系,武汉 430072)
摘要本文将量纲方法与实验相结合,并应用于弹簧质量对谐振动周期影响的研究,
阐明应用量纲方法的一般原则,所得的谐振周期一、二级修正公式与弹性振动理论导出的结
论正相吻合。

0. 前言
关于弹簧质量对谐振动周期的影响。其研究结论已散见于各种文献[1]、[2]、
[3]、[4],基本上都是根据弹性理论建立振动微分方程加以解决,本文介绍一种
简便而实用的方法——量纲方法,配合实验研究,可以在不求解弹簧谐振动系统
的振动微分方程的情况下同样得出正确的谐振周期一、二级修正公式
Mm+ /3
T
2π(1)
k
及
mm2
M[1+−/ 3 ( ) / 4]
T
2π MM (2)
k
Mmm11

2[1()π+⋅− 2 ] (2´)
KMM68
式中,M,m 分别为弹簧振子及弹簧本身的质量,k 为弹簧的倔强系数。通
过这一实例,足见量纲理论在物理研究中具有相当大的辅助作用。

具体研究途径是这样的:先用量纲方法确定(M,m)振动系统周期 T 的基本
形式,基本形式中各未知指数根据量纲要求而建立适当的代数方程来求出,其余
某些待定系数(或参量)可以通过理想情况或极限情况、特例、以及精确的实验数
据巧妙的作图处理加以确定。
以直螺旋弹簧谐震动系数(M,m)为例,决定其周期 T 的各因素如下:
1
①弹簧弹性系数 k;②振子质量 M;③无量纲参数λ= / Mm 。
量纲理论要求:作为(M,m)振动系统的一个特征物理量-周期 T 必然满足
= λ)( kMCT yx (3)
其中 x,y 为待定指数,C( λ)为与λ= / Mm 有关的无量纲函数。
由于[T]=S(秒);[M]=M(千克);[k]=MS-2(牛顿/米2)
量纲理论指出:等式(3) 两侧的量纲必然相同,故有:
x MSMS −2 )( ⋅=⋅= SM −+ 2 yyxy
根据基本物理量(质量 M 与时间 S)的量纲独立性,必有如下待定指数方程组
⎧ yx =+ 0 ⎧x = 2/1
⎨故⎨
⎩ y =− 12 ⎩y −= 2/1
M
于是= CT λ)( (4)
k
为便于与理想情形(m=0)的周期公式相比较,不妨假设λ= πCC 0 λ)(2)( ,并
令 0 = π/2 kMT ,则
= π 0 0 λλ)()(/2 ⋅=⋅ TCCkMT 0 (4′)
将(2)式无量纲化并有理化,可得
2 2
0 0 == BCTT λλ)()()/(
2
其中= CB 0 λλ)()( 也是一个与λ= / Mm 有关的无量纲函数。从物理上考虑
B( λ)自然是在λ≥0 附近光滑可微的函数,对它作泰勒展开(因为λ<1):
2 n
λ)( 10 BBBB 2 λλ
Bn λ+⋅++⋅+⋅+=
其中BiB (i=0,1,2,…,n,…)是待定系数。于是
2 2 n
0 )/( BBBTT 210 λλ
Bn λ+++++=
(