文档介绍：正项级数敛散性的判别要领
摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数，它的敛散性是其基天性质。正项级数敛散性的判别要领虽然较多，但是用起来仍有一定的本领，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典范要领，比力这些要领的差别特点，总结出一些典范判别法的特点及其适用的正项级数的特征。凭据差别级数的特点阐发、判断选择适宜的要领进行判别，才华事半功倍。
要害词:正项级数；收敛；要领；比力；应用
1引言
数项级数是陪同着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国讲授家Gregory J（1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性遍及而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题经常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了许多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的阐发。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种要领比力好；有时用这种或那种要领时，底子做不出来，也就是说，定理它自己存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才华更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。
2正项级数敛散性判别法

由级数收敛的根本判别定理——柯西收敛准则:级数收敛有。取特殊的，可得推论：若级数收敛，则。

定理一（比力判别法的极限形式）：
设和为两个正项级数，且有，于是
（1）若，则与同时收敛或同时发散。
（2）若，则当收敛时，可得收敛。
（3）若，则当发散时，可得发散。
正项级数敛散性的判别法在高等数学课本中所涉及的主要有：比力判别法、比值判别法和根植判别法。由于比值法与根值法的牢固模式，其使用较为方便。但比力判别法在应用时，由于需要对原有级数进行适当的放缩，选择与之比力的东西级数，学生学习时都感触难度较人。
，将借助无穷小量(无穷大量)阶的看法来阐发比力判别法的使用，进而给出如何选择比力东西的快捷要领。
由于时，级数必发散。从而，只需考虑时，正项级数的敛散性判别。借助“无穷小量阶的比力”，即无穷小量趋丁零速度的比力这一看法，上述的（1）、（2）、（3）可以等价理解为
（1）当，即与是同阶无穷小量（）时，与同敛散。
（2）当且收敛，便是较的高阶无穷小量（）时，必有收敛。
（3）若且发散，便是较的低阶无穷小量（）时，可得发散。
这表明正项级数收敛与否最终取决于其通项趋于零的速度，即无穷小量阶的巨细。因此可以通过无穷小量(大概无穷大量)阶的比力，简化的通项或对进行适当放缩，进而利用已知级数的敛散性来判别的敛散。
例1、判别级数和的敛散性。
阐发：在实际题目中，常见的无穷大量有，等。其发散的速度：在时，。
从而，（1）。结合比力判别法的使用。故（1）中的比力东西的的取值应包管，即。（2）中的比力东西的的取值应包管，即。
解：（1）可取，有。又收敛，则由比力判别法可知也收敛。
（2）可取，有。又收敛，则由比力判别法可知也收敛。
使用正项级数比力判别法时需要熟记P-级数以及等比级数的敛散性，再结合本文给出的利用阶的看法对级数通项进行放缩的要领．便能较快捷地选定常用作比力东西的P-级数或等比级数的具体形式，准确判别出正项级数的敛散性。[1]同样，我们可以利用等价无穷小来判断正项级数的敛散性，仍需熟记P-级数的敛散性。[2]
，利用不等式选取适当的比力东西。
例2：判别级数的敛散性。
阐发：考虑其时，，则，而是公比的收敛级数，故原级数收敛。

定理一（根值判别法的极限形式）：
有正项级数，若，则
（1）其时，级数收敛。
（2）其时，级数发散。

例1：判别级数的敛散性。
解：由于，凭据柯西判别法的推论，可得级数收敛。
，若将判别极限变动为或，则相应结果在一定条件下将比原判别要领更为精细，且应用范畴也有所推广。
引理一：如果，则级数收敛当且仅当级数收敛。[3]
引理二：设与为两个正项级数，且存在正整数，其时，不等式创建，则若级数收敛必有级数收敛；若级数发散必有级数发散。
定理二：设为正项级数，为大于1的自然数。若级数通项满足，则其时级数收敛；当级数发散；而其时，级数的敛散性不能判定。[4]
定理三：设为正项级数，为大于1的自然数。如果其中，则其时级数收敛；当级数发散；而其时，级数的敛散性不能判定。[4]
定理二、三给出