文档介绍：高等数学（上）期末复****指导
惠州学院数学系卫斌教授

本学期我们学****了《高等数学》（上册）的第一至第六章，内容为一元函数微积分学．
根据本科生对该课程的教学要求，按章编写了期末复****指导，供同学们复****时参考．
关于期末考试的说明：
（1）期末总成绩分为两部分，平时成绩（作业、期中考试）占30﹪，期末考试成绩占70﹪（均以100分制，教务系统录入后，自动统计）．两项合计60分为及格，并取得相应学分，60分以下为不及格，可随下一届同学在相应学期补考．
（2）考试题型为：
一、填空题（共15分，每小题3分）；　　
二、单项选择题（共15分，每小题3分）；　
三、计算题（共40分）；　　　　　　　　　
四、应用题（共12分）；　　　　　　　　　
五、证明题（共12分）；　　　　　　　　　　
六、综合题（共6分）.
下面分章复****br/>考试大纲第一章函数与极限（25分）
编号
考点
分值
考试形式
1
求定义域.
3
选择/填空
2
极限存在与左、右极限之间的关系
6
选择/填空/计算/综合
3
用极限的四则运算求极限
6
计算
4
用两个重要极限求极限
6
计算
5
讨论连续性、判别间断点的类型
6
选择/填空/计算
6
无穷小、无穷小的阶
6
选择/填空/计算/证明
7
等价无穷小替换求极限
6
计算
8
最值定理证明,会用介值定理讨论方程根的存在性
8
证明
（一）函数的概念
　　函数是高等数学（微积分）的研究对象．函数是两个数集之间的一种映射，或者说是一种对应规律,：定义域，对应规律和值域；把前两者叫函数的两要素．
【例1】（选择题）：设，则（　　）.
　　　　；　　　；　　　；　　.
　解　
　则　，故选（A）．
【例2】（填空题）已知函数，则　　　　．
　令，即，那么　，即　　　．
【例3】（选择题）下列各对函数中（　　）中的两个函数相同．
　　　　；　　　；
　　　　；　　　　　．
　解　（A）中与的定义域都是，且对应规律也相同．
【例4】（选择题）设为奇函数，为偶函数，则复合函数（　）是奇函数．
　　；　　；　　；　　．
　解　设，则.
【例5】若是连续的奇函数，证明是偶函数.
证因为是奇函数，故，记，由定积分的换元积分法知
所以是偶函数.
【例6】（填空题）判断函数的奇偶性 .
【例7】（填空题）函数的定义域是　　　　　　　．
　解
　　．
【例8】（填空题）的定义域为，则的定义域是 .
（二）数列的极限
　：对恒成立，
则称数列的极限是常数，记作　或　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　．（见讲义）定理1—4．
　：
准则Ⅰ 夹逼准则
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限
（三）函数的极限
　　 1.（）定义；
()定义.（见讲义）
、右极限：；
．
变量（数列、函数）的极限是的描述性定义（定性定义）：
变量在其变化过程中，总有那么一个时刻，变到这个时刻以后，会无限趋近
于某个常数，即与之距能任意小，并保持任意小，通俗讲：就是到了“要多小有多小”，就是“小到不能说”，甚至到了“一说就不小了”的程度，但是，这时我们就说，变量以常数为极限，记作 .
　（四）无穷小与无穷大
　　
　（1）定义：以零为极限的变量称为无穷小量．
　（2）无穷小的阶（比较）
　　
（3）无穷小的运算性质（见讲义）　特别是：有界函数与无穷小之积为无穷小．
　　求极限时时，可用无穷小替换，
　　记住几个等价无穷小：～～
～～～～
　：绝对值无限增大的变量叫无穷大.
无穷小与无穷大的关系：非零无穷小的倒数为无穷大，反之，无穷大的倒数为无穷小.
　（五）两个重要极限
　　第一个重要极限：是弦弧之比的极限，是的未定式，它的标准形式是
　　
　　第二个重要极限：是的未定式，它的标准形式是
　　
　　注意：这里，即它们互为倒数．
　（六）函数的连续性
　　：其中，则称函数在点处连续．
　　函数在区间连续的定义．初等函数在其定义域内是连续的．
　　
　　①有界性　②最值定理　③零点定理