文档介绍：第六章线性空间
设 M N,证明:M「|N 二M,M|JN 二N。
证任取圧三M ,由M二N,得很三N,所以—M N,即证M • M。又因
M N M ,故M" N =M。再证第二式，任取很-M或x - N,但M N,因此无论哪一种情形，都有：…N,此即。但N M N,所以MUN=N。
证明 M (N L) =(M N) (M L)，M (N L) =(M N) (M L)。
证-x M (N L),则x M且x N ，于是x M N或x M L.
所以 x (M N) (M L)，由此得 M (N L)=(M N) (M L)。反之，若
x (M N) (M L)，则 x M N或x M ，x M,x N,因此
x・N • M (N L),在后一情形，因而x・M ,x・L, NU L，得 x M (N L),故(M N) (M L) M (N L),
于是 M (N L) =(M N) (M L)。
若 x M（ NRL），则 x M，x N"L。
在前一情形Xx・MUN，且X・MUL,因而x ( MUN) ( M_ L)。
在后一情形，x N,x • L,因而x MU N,且X • MUL，即X （MJN）D（MUL）所以（M u N）n（ MUL） m U（ NUL）
故 mU（ nF1l）=（ mUn） n（ mUl）
即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
次数等于n (n 一1)的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
设A是一个n x n实数矩阵，A的实系数多项式f (A)的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
全体实对称(反对称，上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；
平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；
全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
（ai，a b （q a2，bi b2 aia2）
ko （a’，b）
kb’+ 心
2 ai
平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
kQ a = 0 ；
集合与加法同6)，数量乘法定义为：
kO a=a ；
全体正实数r，加法与数量乘法定义为：
a 二 b = ab， kQ a = ak ；
解1 )否。因两个n次多项式相加不一定是 n次多项式，例如
(xn • 5) • (「xn -2) = 3。
2)令V={f ( A) |f ( x)为实数多项式，A是nxn实矩阵}
因为
f (x) +g (x) =h (x), kf (x) =d (x)
所以
f (A) +g (A) =h (A), kf (A) =d (A)
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的 1~8条，故v构成线性空间。
3 )矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 1~8条性质，只需证明对称矩阵(上三
角矩阵，反对称矩阵)对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：
当A, B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
(A+B)' =A+B=-A-B=- (A+B , A+B仍是反对称矩阵。
(KA)= KA"二K(— A) =( KA),所以kA是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
不难验证，对于加法，交换律，结合律满足， (0, 0)是零元，任意(a, b)的负元是
2
(-a , a -b )。对于数乘：
1( a, b) =(1 a,。b= ― a2)=(a,b),
2
咛)a2]咛(“)
2 2
kl(kl—1) 2 丄 k(k—1)“、2、
= (kla, a (la))
2 2
k.(l.(a,b) =k.(la,lb 出 ^a2) =(kla,k[lb
2
l(l —1) 2 k(k —1) 2
-(kla,k[lb a ] (la))
2 2
kl(kl -1) 2
= (kla, a klb) =(kl).(a,b),
(k l).(a,b)=[(k l)a,(k l)(k 一1)
2
a2 (k l)b]
2
2
k.(a,b)二丨.(a,b) = (ka,kb ^a2)二(la,lb 山 ^a2
2 2
= (ka la,kb 坐 9玄2 世 a2 kla2)
2 2
4(k l)a,(k 1)(k |-1)a2 (k l)b].
即 (k l) (a,b)二 k (a,b)二 l (a,b)。
k [(a1,b1 )二(a2,b2)] =k (a1 a2,b| b2 a1a2)
k(k—1)