凸几何分析简介.ppt

文档介绍：凸体几何中的极值问题
冷岗松
上海大学数学系

2013-4-28
最主要的,我要跟大家说的是立体几何在数
学中是很重要而圆难的部分。即使平面几何也可
能很难。到了立体时,则更为复杂。近军来对碳
60(C60)的研究显示了几何在化学中的应用。多面
体形的几何性质对囝态物理也有重大的作用。
球装不过是立体几何的一个问题。立体几何是大
有前途的。
陈省身
在庆祝自然科学基金制设立15周年和国家自然科学基金委员会成
立10周年之际,以《中国的数学》为题发表的讲演
2013-4-28
学科介绍
凸体的Brun- Minkowski理论
Lutwak的对偶 Brunn- Minkowski理论
p-Brunn- Minkowski理论
几何断层学( Geometric Tomography
2013-4-28
凸体的 Brunn- Minkowski理论
凸体:R"中有非空内点的紧致凸集
凸体的支撑函数:设K是R"中的一个凸体那么
它的支撑函数h(K,)=hx(a)定义为
hx(u)=max{{u,x)|x∈k
凸体的 Minkowski和:设K,L是R中的凸体
K+L={x+y|x∈k,y∈L}
分hk+(u)=hk(u)+h1(u)
2013-4-28
混合体积( Mixed volume)
Minkowski定理:设K为R中的凸体,A≥0
V(n,K
2K,)=∑…∑V(K1…K,)
设K,L是R中的凸体,那么
V(K +EL)-V(K)
V(K,n-1; L)=lim
2013-4-28
Steiner对称与亮度函数
K
S K
Steiner对称
K
亮度函数
(brigh tness ft
b,(u=v(K
Ku
2013-4-28
投影体( Projection Bodies)
IIK
K
2013-4-28
Aleksandrov投影定理
对于原点对称的两个凸体K和L
b(u)=b,(u) Vu
K=L
b0)=2u145(K,)金式
K的表面积测度
2013-4-28
Shephard问题
Shephard(1964)问
对于原点对称的凸体K和L,是否有
bk(u)≤b,(a),Va→V(K)≤V(L)
Pe+y和 Schneider(1967分别给出了否定的
回答,并证明了当L为投影体或n=2时结论成
2013-4-28
Shephard问题的一个反例
Pety和 Schneider(1967)给出的一个反例
K
反例
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