文档介绍：1 第一章. 波动方程§1 方程的导出。定解条件 1. 细杆( 或弹簧) 受某种外界原因而产生纵向振动,以 u(x,t) 表示静止时在 x 点处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移, 假设振动过程发生的张力服从虎克定律, 试证明),(txu 满足方程???????????????????????x uExt uxt ?其中?为杆的密度, E 为杨氏模量。证: 在杆上任取一段, 其中两端于静止时的坐标分别为 x 与?xx?。现在计算这段杆在时刻 t 的相对伸长。在时刻 t 这段杆两端的坐标分别为: ),( );,(txxuxxtxux??????其相对伸长等于),( )],([ )],([txxux xtxuxtxxuxx x??????????????令0??x ,取极限得在点 x 的相对伸长为 xu),(tx 。由虎克定律,张力),(txT 等于),()(),(txuxEtxT x?其中)(xE 是在点 x 的杨氏模量。设杆的横截面面积为),(xS 则作用在杆段),(xxx??两端的力分别为 xuxSxE)()( xuxxSxxEtx)()( );,(????).,(txx??于是得运动方程 ttuxxsx???)()(? x ESu tx?),( xxxxx ESu xx|)(|)(?????利用微分中值定理,消去 x?,再令 0??x 得 ttuxsx)()(?x??? x ESu () 若?)(xs 常量,则得 2 2)(t ux???=))((x uxEx????即得所证。 2 .在杆纵向振动时,假设(1) 端点固定, (2) 端点自由, (3) 端点固定在弹性支承上,试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解: (1) 杆的两端被固定在 lxx??,0 两点则相应的边界条件为 2 .0),(,0),0(??tlutu (2) 若lx?为自由端, 则杆在 lx?的张力 x uxEtlT???)(),( |lx?等于零, 因此相应的边界条件为 x u??|lx?=0 同理,若 0?x 为自由端,则相应的边界条件为 x u??∣0 0??x (3) 若lx?端固定在弹性支承上, 而弹性支承固定于某点, 且该点离开原来位置的偏移由函数)(tv 给出,则在 lx?端支承的伸长为)(),(tvtlu?。由虎克定律有 x uE??∣)](),([tvtluk lx????其中 k 为支承的刚度系数。由此得边界条件)(ux u????∣)(tf lx??其中E k??特别地,若支承固定于一定点上,则,0)(?tv 得边界条件)(ux u????∣0??lx 。同理,若 0?x 端固定在弹性支承上,则得边界条件 x uE??∣)](),0([ 0tvtuk x???即)(ux u????∣).( 0tf x?? 3. 试证:圆锥形枢轴的纵振动方程为 2 222)1(])1 [(t uh xx uh xx E??????????其中 h 为圆锥的高( 如图 1) 证:如图,不妨设枢轴底面的半径为 1 ,则 x 点处截面的半径 l 为:h xl??1 所以截面积 2)1()(h xxs???。利用第 1 题,得])1([)1()( 22 22x uh xExt uh xx????????????若ExE?)( 为常量,则得 2 222)1(])1 [(t uh xx uh xx E?????????? 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定,在它本身重力作用下,此线处于铅垂平衡 3 位置,试导出此线的微小横振动方程。解:如图 2 ,设弦长为 l ,弦的线密度为?,则 x 点处的张力)(xT 为)()(xlgxT???且)(xT 的方向总是沿着弦在 x 点处的切线方向。仍以),(txu 表示弦上各点在时刻 t 沿垂直于x 轴方向的位移,取弦段),,(xxx??则弦段两端张力在 u 轴方向的投影分别为)( sin ))(( );( sin )(xxxxlgxxlg??????????其中)(x?表示)(xT 方向与 x 轴的夹角又. sinx u tg??????于是得运动方程 x uxxlt ux?????????)]([ 2 2?∣x uxlg xx??????][?∣g x?利用微分中值定理,消去 x?,再令 0??x 得]) [( 2 2x uxlx gt u????????。 5. 验证 2221),,(yxt tyxu???在锥 222yxt??>0 中都满足波动方程 2 22 22 2y ux ut u????????证:函数 2221),,(yxt tyxu???在锥 222yxt??>0 内对变量 tyx,, 有二阶连续偏导数。且 tyxtt u????????2 3222)( 22 52222 32222 2)(3)(t