文档介绍：§
考虑二元函数方程：
(1)
通常这类函数方程解不是唯一，为了使(1)解是唯一，我们大多给部分附加条件。比如，要求该函数是“连续”，或必需是“在定义域中每一个有限区间内为有界”，或是“单调”函数…等。
解方程式(1)步骤是：依次求出独立变量取正整数值、整数值、有理数值，直至全部实数值，而得到函数方程解。下面我们在f(x)不一样附加条件下来解函数方程(1)。
Example 1：设函数在整个实数域上连续，求函数方程式(1)解？
【解】：因为
(1)
由数学归纳法易知，对任意实数有
尤其当初，
(2)
取，可得
在(1)式中取
所以，在(1)式中取，可得
在(2)式中取，则可得
所以对任意整数，
在(2)式中取，(m, n为正整数)，有
但
在于(1)式中取，则可得
所以对任意有理数r，
因为有理数是实数稠密子集，且为连续函数，所以
(3)
故(3)是(1)在中唯一解。
Example 2：若函数在某一充足小区间(a,b)内为有界，求(1)解。
【解】：在上例中，我们已证实在给定，。
令, 则当初，
(A)
且对任意实数
所以也满足方程式(1)。
对任意实数x，取
则 。
令，则，
此即是说，对任意，存在，使得 (＊)
由假设条件知，在(a, b)内有界，
所以由(＊)知，g在整个实数上全部有界。
又由(A)知
若存在一个无理数，使得
则，矛盾。
所以
所以，。
Example 3：设在某个足够小区间内是单调函数，求(1)解？
【解】：我们利用Example2结果来证实在单调函数下(1)之解仍为
。
任取，，使得。因为为单调函数
，所以
所以内有界；所以由例2可知。
§2、多个关键二元函数方程
在本节中全部均假设是连续。
Example 1：设上是连续且不恒等于0，求出函数方程