文档介绍：《连续介质力学》例题和习题
第一张、矢量和张量分析
矢量与张量代数
矢量代数
令
则有

又因为

则

习题
1、证明下列恒等式：
1）
2)
2、请判断下列矢量是否线性无关？
.
其中单位为正交的基矢量。
*补充知识：矩阵及矩阵运算
1、定义：

i表示行，j表示列；m和n相等表示为方阵，称为m（或n）阶矩阵。
表示对角元素。如果一个矩阵只有不为零，则为对角阵。对角元素为1的对角阵称为单位矩阵,如果是3阶单位矩阵，
则可写为：
而对角阵可取为：
矩阵的迹：一个矩阵的对角元素之和，可称为矩阵的迹。
如果一个矩阵只有一行或者一列元素，则可用一个下标表示，例如：
其可用矢量分量表示。
2、矩阵的运算：
（1）、矩阵求和
定义：两个矩阵和，即
i=1,2，……m。j=1,2,……n

则两矩阵之和为：
标量乘积为：
矩阵之和满足：
a、
b、
c、
d、
e、
f、
(2)、矩阵的转置，对称与反对称矩阵
令是一个的矩阵，且

例1、令，，则和分别为

对于和，有1）；
2）
3）对于反对称阵，其中。

（3）、矩阵的乘积，
令是阶矩阵，是阶矩阵，则矩阵乘积可写成：
（i=1,2,3……m；j=1,2,3……p）
注意：1）如果是一个的矩阵，是一个的矩阵，则只有在n=p时成立，同样，只有在q=m是才成立。
2）和当且仅当和是同阶方阵是成立。
3）和即使都成立，一般情况下两者也不想等，，表示矩阵的乘积不满足交换律。
4）如果是方阵，则，
5）；
6）
例2、令；，求，和。
解：，
则
而
（4）、矩阵的逆和行列式的值

先讨论矩阵的行列式的值：令为一个的矩阵，则该矩行列式的值定义为：

其中为去掉第i行和第1列的剩余行列式。
如果，则
2）令，则其行列式值为：

另外，矩阵的行列式的值也可以表示为：

矩阵的行列式的值具有以下性质：
a,
b、
c、（是常数，n为的阶次）
d、如果为的某一列或某一行乘以一个常数而得，则；
e、如果为中任两列（或两行）交换而得，则；
f、如果为两行（或两列）矩阵，且其中一行（或一列）由另一行（或一列）乘以一个常数而得，则
余子式（minor）：在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后留下来的n-1阶行列式叫做元素的余子式，记为。
行列式的代数余子式（confactor）：令为行列式关于元素的代数余子式。
例如：如果，则元素的余子式的余子式为：
行列式关于关于元素的代数余子式则为：

利用余子式和代数余子式的定义，矩阵的行列式的值可表示为：

则是关于的代数余子式。
伴随矩阵（adjunct coradjoint of a matrix）：把矩阵换成对应的余子
式构成的新的矩阵的转置，称为的伴随矩阵。
矩阵的逆：
如果是一个矩阵，而是另一个的矩阵，并且有成立，则称为的逆。
如果和都是的逆，则有：
并且有：
可见：，则矩阵的逆是唯一的。
记的逆为。如果一个矩阵没有逆矩阵，则可以称其为奇异矩阵。对非奇异矩阵，有
逆矩阵可以通过的伴随矩阵来求，即
例2、求的逆矩阵。
解：首先计算其行列式的值：
，则的逆可求。
有因为关于的余子式
，，
则关于的代数余子式为：