文档介绍：2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义
第一讲 函数、极限、连续性
一、函数
1. 函数
(1)函数的定义
设数集 D R ，则称映射 f : D R 为定义在 D 上的函数，简记为 y f (x), x D ， 其中 x
称为自变量， y 称为因变量， D 称为定义域，记为 Df ， f (D) 为值域，记为 Rf .
(2)函数定义的两要素：定义域，对应法则. 2. 函数的特性
(1)有界性：若 M 0 ，对于 x I ，都有 f (x) M ，则称 f (x) 在 I 上有界.
(2)单调性：设函数 f (x) 的定义域为 D ，区间 I D ，若对于 x1, x2 I ，当 x1 x2 时， 有 f (x1) f (x2 ) ( f (x1) f (x2 )) ，则称 f (x) 在区间 I 上单调增加(单调减少). (3)奇偶性：设函数的定义域为 I ，对于x I ，
若 f (x) f (x) ，则称 f (x) 是奇函数； 若 f (x) f (x) ，则称 f (x) 是偶函数.
注：任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和的形 式，即：
f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) .
2 2
(4)周期性：设 f (x) 的定义域为 I ，若T 0 ，对于x I ，使得 f (x T ) f (x) (x T I ) ，
则称 f (x) 为周期函数，T 为 f (x) 的周期，通常周期是指最小正周期.
3. 反函数
(1)反函数的定义
设函数 f : D f (D) 是单射，则它存在逆映射 f 1 : f (D) D ，则称映射 f 1 为函 数 f 的反函数.
(2)结论： f 1[ f (x)] x ， f [ f 1(x)] x .
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(3)单调函数存在反函数，反之不成立. 4. 复合函数
(1)复合函数的定义
设函数 y f (x) 的定义域为 Df ，函数 u g(x) 的定义域为 Dg ，且其值域 Rg Df ，
则函数 y f [g(x)] , x Dg 称为由函数 u g(x) 与函数 y f (u) 构成的复合函数. (2)只有当函数 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域的交非空时，才能将它们复合成复合函 数.
5. 初等函数
(1)基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数. (2)初等函数：由常数和五类基本初等函数进行有限次的四则运算和复合构成的可用一个式子 表示的函数. (3)初等函数必须能用一个式子表示，不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数，故分段 函数一．般．不．是．初等函数.
二、极限
1. 数列极限
(1)数列极限的定义
设xn 为一数列，如果存在常数 a ，对于任意给定的正数 ，总存在正整数 N ，使得
n
当 n N 时，有 xn a 成立，则称数列xn 收敛于 a ，记为 lim an a .
n
2
(2)数列极限的基本性质：
①(唯一性)如果数列xn 收敛，那么它的极限唯一.
②(有界性)如果数列xn 收敛，那么数列 xn 一定有界，即：M 0 ，使得 n 有 xn M .
③(保号性)如果 lim xn a ，且 a 0 (或 a 0 )，那么 N N ，当 n N 时，有 xn 0 (或
xn 0 ).
(3)数列极限的四则运算法则
设有数列xn， yn . 如果 lim xn A ， lim yn B ，则：
n n
① lim(xn yn ) A B ； ② lim xn yn A B ；
n n
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B
xn A
n yn
③当 yn 0 且 B 0 时， lim .
(4)数列极限存在的判定
①(夹逼法则)如果数列xn ， yn ， zn 满足：
1) yn xn zn ( n 1,2,3… )； 2) lim yn a ， lim zn a ，
n n
那么数列xn的极限存在，且 lim xn a .
n
②(单调有界准则)