文档介绍：注:仅对数一要求的部分标有“*”,仅对数二,数三要求的部分相应标有“○”,“△”.
目 录
第一讲函数极限连续性……………………………………………(1) 第二讲导数与微分……………………………………………………(7) 第三讲微分中值定理及导数的应用……………………………………(11) 第四讲一元函数积分学…………………………………………………(15) 第五讲微分方程…………………………………………………………(20) 第六讲多元函数微分学…………………………………………………(23) 第七讲重积分……………………………………………………………(28) 第八讲曲线积分与曲面积分* …………………………………………(23) 第九讲无穷级数*△……………………………………………………(38)
2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义
第一讲 函数、极限、连续性
一、函数
1. 函数
(1)函数的定义
设数集 D R ,则称映射 f : D R 为定义在 D 上的函数,简记为 y f (x), x D , 其中 x
称为自变量, y 称为因变量, D 称为定义域,记为 Df , f (D) 为值域,记为 Rf .
(2)函数定义的两要素:定义域,对应法则. 2. 函数的特性
(1)有界性:若 M 0 ,对于 x I ,都有 f (x) M ,则称 f (x) 在 I 上有界.
(2)单调性:设函数 f (x) 的定义域为 D ,区间 I D ,若对于 x1, x2 I ,当 x1 x2 时, 有 f (x1) f (x2 ) ( f (x1) f (x2 )) ,则称 f (x) 在区间 I 上单调增加(单调减少). (3)奇偶性:设函数的定义域为 I ,对于x I ,
若 f (x) f (x) ,则称 f (x) 是奇函数; 若 f (x) f (x) ,则称 f (x) 是偶函数.
注:任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和的形式,即:
f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) .
2 2
(4)周期性:设 f (x) 的定义域为 I ,若T 0 ,对于x I ,使得 f (x T ) f (x) (x T I ) ,
则称 f (x) 为周期函数,T 为 f (x) 的周期,通常周期是指最小正周期.
3. 反函数
(1)反函数的定义
设函数 f : D f (D) 是单射,则它存在逆映射 f 1 : f (D) D ,则称映射 f 1 为函数 f 的反函数.
(2)结论: f 1[ f (x)] x , f [ f 1(x)] x .
1
2015 考研数学基础班高等数学辅导讲义
(3)单调函数存在反函数,反之不成立. 4. 复合函数
(1)复合函数的定义
设函数 y f (x) 的定义域为 Df ,函数 u g(x) 的定义域为 Dg ,且其值域 Rg Df ,
则函数 y f [g(x)] , x Dg 称为由函数 u g(x) 与函数 y f (u) 构成的复合函数. (2)只有当函数 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域的交非空时,才能将它们复合成复合函数.
5. 初等函数
(1)基本初等函数:幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数. (2)初等函数:由常数和五类基本初等函数进行有限次的四则运算和复合构成的可用一个式子表示的函数. (3)初等函数必须能用一个式子表示,不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数,.
二、极限
1. 数列极限
(1)数列极限的定义
设xn为一数列,如果存在常数 a ,对于任意给定的正数,总存在正整数 N ,使得
n
当 n N 时,有 xn a 成立,则称数列xn收敛于 a ,记为 lim an a .
n
2
(2)数列极限的基本性质:
①(唯一性)如果数列xn 收敛,那么它的极限唯一.
②(有界性)如果数列xn 收敛,那么数列xn 一定有界,即:M 0 ,使得n 有 xn M .
③(保号性)如果 lim xn a ,且 a 0 (或 a 0 ),那么 N N ,当 n N 时,有 xn 0 (或
xn 0 ).
(3)数列极限的四则运算法则
设有数列xn, yn . 如果 lim xn A , lim yn B ,则:
n n
① lim(xn yn )