文档介绍：线性定常控制系统的综合设计
闭环系统性能与闭环极点密切相关,经典控制理论用调整开环增益及引入串联和反馈校正装置来配置闭环极点,以改善系统性能;而在状态空间的分析综合中,除了利用输出反馈以外,更主要是利用状态反馈配置极点,它能提供更多的校正信息。通常不是所有的状态变量在物理上都可测量,因此,状态反馈与状态观测器的设计便构成了现代控制系统综合设计的主要内容。
从反馈信号的来源或引出点分,系统反馈主要有状态反馈和输出反馈两种基本形式;从反馈信号的作用点或注入点分,又有反馈至状态微分处和反馈至控制输入处两种基本形式。
状态反馈与极点配置
系统状态可测量是用状态反馈进行极点配置的前提。状态反馈有两种基本形式:一种为状态反馈至状态微分处;另一种为状态反馈至控制输入处。前者可以任意配置系统矩阵,从而任意配置状态反馈系统的极点,使系统性能达到最佳,且设计上只须将状态反馈阵与原有的系统矩阵合并即可,但是需要为反馈控制量增加新的注入点,否则无法实施反馈控制,显然这在工程上往往是难以实现的;而后者是状态反馈控制信号与原有的控制输入信号叠加后在原控制输入处注入,正好解决了反馈控制量的注入问题,工程可实现性较好,因此本书对后者进行重点介绍。设单输入系统的动态方程为
状态向量x通过待设计的状态反馈矩阵k,负反馈至控制输入处,于是
(8-183)
从而构成了状态反馈系统(见图8-24)。
图8-24 状态反馈至控制输入
状态反馈系统的动态方程为
(8-184)
式中,k为(1´n)矩阵,称为闭环状态阵,闭环特征多项式为。显见引入状态反馈后,只改变了系统矩阵及其特征值,矩阵均无改变。
定理用状态反馈任意配置系统闭环极点的充要条件是系统可控。
证明这里仅对单输入系统进行证明。设单输入系统可控,通过,将状态方程化为可控标准型,有

在变换后的状态空间内,引入状态反馈阵
(8-185)
(8-186)
这里,分别由引出反馈系数,故变换后的状态方程为
(8-187)
式中
(8-188)
仍为可控标准型,故引入状态反馈后,系统可控性不变。其闭环特征方程为
(8-189)
于是,适当选择,可满足特征方程中n个任意特征值的要求,因而闭环极点可任意配置。充分性得证。
再证必要性。设系统不可控,必有状态变量与输入u无关,不可能实现全状态反馈。于是不可控子系统的特征值不可能重新配置,传递函数不反映不可控部分的特性。必要性得证。
经典控制中的调参及校正方案,其可调参数有限,只能影响特征方程的部分系数,比如根轨迹法仅能在根轨迹上选择极点,它们往往作不到任意配置极点;而状态反馈的待选参数多,如果系统可控,特征方程的全部n个系数都可独立任意设置,便获得了任意配置闭环极点的效果。
对在变换后状态空间中设计的k 应换算回到原状态空间中去,由于

故
(8-190)
对原受控系统直接采用状态反馈阵k,可获得于式(8-190)相同的特征值,这是因为线性变换后系统特征值不变。
实际求解状态反馈阵时,并不一定要进行到可控标准型的变换,只需校验系统可控,计算特征多项式(其系数均为的函数)和特征值,并通过与具有希望特征值的特征多项式相比较,便可确定k矩阵。一般k矩阵元素越大,闭环极点离虚轴越远,频带越宽,响应速度越快,但稳态抗干扰能力越差。
状态反馈对系统零点和可观测性的影响,是需要注意的问题。按照可控标准型实施的状态反馈只改变友矩阵A的最后一行,即的值,而不会改变C和b,因此状态反馈系统仍是可控标准型。因为非奇异线性变换后传递函数矩阵不变,故原系统的传递函数矩阵为
而状态反馈系统的传递矩阵为
(8-191)
显然,的分子相同,即引入状态反馈前、后系统闭环零点不变。因此,当状态反馈系统存在极点与零点对消时,系统的可观测性将会发生改变,原来可观测的系统可能变为不可观测,原来不可观测的系统则可能变为可观测。只有当状态反馈系统的极点中不含原系统的闭环零点时,状态反馈才能保持原有的可观测性。这个结论仅适用于单输入系统,对多输入系统不适用。根据经典控制理论,闭环零点对系统动态性能是有影响的,故在极点配置时,须予以考虑。
例8-36 设系统传递函数为,试用状态反馈使闭环极点配置在-2,-1。
解该系统传递函数无零、极点对消,故系统可控可观测。其可控标准型实现为

状态反馈矩阵为
状态反馈系统特征方程为
期望闭环极点对应的系统特征方程为
由两特征方程同幂项系数应相同,可得
即系统反馈阵将系统闭环极点配置在-2,-1。
例8-37 设受控系统的状态方程为,试用状态反馈使闭环极点配置在-1。
解由系统矩阵为对角阵,显见系统可控,但不稳定。设反馈控制律为,,则
闭环