文档介绍：求解函数极值的几种方法
函数极值的定义法
说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐•
导数方法
定理(充分条件)设函数f(x)在Xo处可导且f(X。)0,如果x取Xo的左侧
的值时，f (x) 0，x取x0的右侧的值时，f (x) 0，那么f (x)在x0处取得极大
值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件•
例1求函数f (x) x2(x 1)3的单调区间和极值
解 f(x) X2(X 1)3 ( x )，
f (x) 2x(x 1)3 3x2(x 1)2 x(x 1)2(5x 2).
2
令 f (x) 0,得到驻点为X1 0，X2 2，X3 1 .列表讨论如下：
5
表一：f(x) X2(X 1)3单调性列表
X
(,0)
0
2
(0,匚)
5
2
5
2
L)
1
(1,)
f'(x)
+
0
-
0
+
0
+
f(x)
极大值
f(0) 0
极小值
2
f(E) 108/3125
非
极
值
说明：导数方法适用于函数f(x)在某处是可导的，但是如果函数f(x)在某
处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了 .用导数方法求极值的条件
是：函数f(x)在某点X0可导.
Lagrange乘法数方法
对于问题：
Min z f (x, y)
(x, y) 0
如果(x*, y*)是该问题的极小值点，则存在一个数，使得
fx(x*,y*) gx(x*,y*) 0
fy(x*,y*) gy(x*,y*) 0
利用这一性质求极值的方法称为 Lagrange乘法数
1
例2在曲线y -3 (x 0)上求与原点距离最近的点.
x
解我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函
数w x2 y2 (y I)
x
然后，令此函数对x的导数和对y的导数分别为零，再与原等式约束合并得
3
2x 4 0
x
83
2y 0
解得
这是唯一可能取得最值的点
因此x V3,y挡为原问题的最小值点
说明：Lagrange乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较
简单的：如果(x*,y*)是该问题的极小值点则存在一个数，使得
fx(x*,y*) gx(x*,y*) 0
fy(x*,y*) gy(x*,y*) 0
这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容 •
多元函数的极值问题
由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求 n元函数f(p)
的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足grad f(p0)0的点p0；②在p0
点的Hessene矩阵H，判定H正定或负定，若H正定