文档介绍：广义 Fourier 级数
Hilbert 空间
轴对称球函数与Legendre多项式
Legendre多项式的性质
Legendre多项式的生成函数
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连带Legendre函数
连带Legendre方程为:
作变换:
代入方程并整理可得:
可以证明,上述方程可以由 Legendre 方程逐项求导 m 次得到。
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从而该方程的解是 Legendre 方程的解的 m 阶导数。
这样,连带Legendre方程的解为:
上述解被称为连带Legendre函数。
连带Legendre方程和自然边界条件也构成本征值问题,
本征值是 l ( l + 1), l 取非负整数。本征函数就是连带
Legendre函数。
3
下面是几个连带 Legendre 函数的例子:
(P476,附录五)
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连带Legendre 函数的微分与积分表示
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连带Legendre 函数的模与正交关系
根据关于Sturm-Livouville本征值问题的讨论,不
同 l 的 Legendre 函数正交:
(递推公式可参见P307页内容)
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连带Legendre函数作为完备函数基
连带 Legendre 函数构成一组完备的函数基,因而
可以把定义在区间[-1,1]上的任意函数展开成为广义
Fourier级数。
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一般的球函数
球函数方程:
球函数(l 称作球函数的阶):
复数形式的球函数:
独立的 l 阶球函数有2l+1个。
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球函数的正交关系与模
可以证明:
对于复数形式:
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球函数作为完备函数基
利用球函数可以构造一组正交归一的完备函数基,
定义在球面上的任意函数均可以用该基展开:
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