文档介绍：第一章复数与复变函数
§1、1复数
§1、2复平面点集
1,3扩充复平面及其球面表示
复变函数与积分变换及应用背景
M. Kline(莫里斯克莱恩)(1908-1992)
(《古今数学思想》 Mathematical Thought
from ancient to modern times)的作者,美国
数学史家)指出:从技术观点来看,十九世纪最
独特的创造是单复变函数的理论这个新的数学
分支统治了十九世纪,几乎象微积分的直接扩展
统治了十八世纪那样这一丰饶的数学分支,一直
被称为这个世纪的数学享受它也被欢呼为抽象
科学中最和谐的理论之一
(1)代数方程x2+1=0在实数范围内无解
为了建立代数方程的普遍理论,人们引入复数
的概念,
函数理论证明了代数基本定理
(2)复变函数理论可以应用于计算某些复杂的实函
数的积分. J Hadamard(阿达马)说:实域中两个
真理之间的最短路程是通过复域
(3)复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动
等问题的研究
(4)应用于计算绕流问题中的压力和力矩等
最著名的例子是飞机机翼剖面压力的计算,
从而研究机翼的造型问题
(5)应用于计算渗流问题
例如:大坝、钻井的浸润曲线
(6)应用于平面热传导问题、电(磁)场强度
例如:热炉中温度的计算
8)复变函数理论也是积分变换的重要基础
积分变换在许多领域被广泛地应用,如电力
工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理
和其他许多数学、物理和工程技术领域
(9) Fourier变换应用于频谱分析和信号处理等
频谱分析是对各次谐波的频率、振幅、相位之
,语音、图
象等作为信号,在频域中的处理要方便得多
(10) Laplace变换应用于控制问题
在控制问题中,传递函数是输入量的 Laplace
变换与输出量的 Laplace变换之比.
11)Z变换应用于离散控制系统
(12)小波分析的应用领域十分广泛,如信号分析和
图象处理、语音识别与合成、医学成像与诊断、
地质勘探与地震预报等等
(13)复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和
工程计算设计的软件 MATLAB
主要内容
本章引入复数的概念及表示式、复数
的运算、平面点集的概念
1复数的概念
2复数的四则运算
3复数的表示方法
4乘幂与方根
由于解代数方程的需要,人们引进了复数
例如,简单的代数方程
x2+1=0
理论,引入等式
由该等式所定义的数称虚数单位
i=√-1.
称形如x+i或x+yi的表达式为复数,其中
x和y是任意两个实数把这里的x和y分别称为复
数x+(或x+y)的实部和虚部,并记做
x= Rez, y=lmz
当复数的虚部为零、实部不为零(即y=0,x≠0)
时,复数x+iy等于x+0为实数x,而虚部不为零(即
y≠0)的复数称为虚数在虚数中,实部为零(即x=0,
y≠0)的称为纯虚数例如,3+0=3是实数,45i,-3i都
是虚数,而-3是纯虚数