文档介绍：共轭方向和共轭梯度法
总圖
本节主要内容
共轭方向法的基本原理
2共方向c义性
3共轭梯度法
例题
小结
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共轭方向基本原理
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1共轭方向法的基本原理
先看一个无约束极小化问题
minf(x)=XQX+bX+c,Q为正定矩阵
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1共轭方向法的基本原理
·已知ⅹ点是在X。点在直线上沿P搜索方向的一个极小
点。(与P是平行的)
过X1点找一个方向P,沿平行于P的直线进行一维搜索
,找到点X2为全局的极小点
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1共轭方向法的基本原理
●P应该满足的条件:X2=X1+A1P1(A1为最优步长)
X2是无约束极小值点
P1要如何求呢
f(X2)=0 BpQX2+b=0 (Vf(X)=QX+b)
有
Vf(X1=oX,+b
6X是f(x)沿P方向的直线l的极小点
Q(X,-n,P)+b
f(X1)P=0
(2X2+b)-***@nP
0=Vf(X)Po=-2P QP
-QM, P
即P,QP=0
这是P1满足X是极
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共轭方向定义、性质与其轭方向法
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2共轭方向定义
设矩阵Q是n阶正定矩阵
P1…,Pm1是En中的m个非零向量,如
果满足条件
PQP=0,(≠,j=0,1
则称向量P0,P1,…,Pm1是Q的共轭向量组,或称P,P1,…,Pm1是
关于Q的共轭方向。
如果取Q为单位矩阵,那么,Q的共轭向量就是相互正交的向
量。所以,可以认为共轭概念是正交概念的推广。正交是共轭
的一种特殊情况。
怎么理解?
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2共轭方向-定义
已知向量x=(10)7,y=12
),Q
则xQy=(1
因此x,y是关于Q共轭正交的。但是x,y并不正交,因为xy≠0而向量
0
是正交的,但是它们不是Q的共轭向量。而向量
既是正交的
又是Q的共轭。
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2共轭方向-性质
证明设Q是正定矩阵,P,PAP是Q共轭向量组
令∑a,P=0(a,是常数)
PK QP=0, K
由Q的正定性以及P,P的共轭性,有PD=0,当k≠
0,当k=;j=-1
故aPQP=0,j=01Am-1
→a1=0,j=0,1,Am-1
当n=2时
所以,P,PAP是线性无关的。
n-x)+yDm经e)
P Qv/(X)+V/(XI)QP=o