文档介绍：第九章基本知识小结
⒈物体在线性回复力F = - kx,或线性回复力矩τ= - cφ作用下的运动就是简谐振动,其动力学方程为(x表示线位移或角位移);弹簧振子:ω02=k/m,单摆:ω02=g/l,扭摆:ω02=C/I.
⒉简谐振动的运动学方程为 x = Acos(ω0t+α);圆频率、频率、周期是由振动系统本身决定的,ω0=2π/T=2πv;振幅A和初相α由初始条件决定。
⒊在简谐振动中,动能和势能互相转换,总机械能保持不变;对于弹簧振子,。
⒋两个简谐振动的合成
分振动特点
合振动特点
方向相同,频率相同
与分振动频率相同的简谐振动
Δα=±2nπ合振幅最大
Δα=±(2n+1)π合振幅最小
方向相同,频率不同,频率成整数比
不是简谐振动,振动周期等于分振动周期的最小公倍数
方向相同,频率不同,频率较高,又非常接近
出现拍现象,拍频等于分振动频率之差
方向垂直,频率相同
运动轨迹一般为椭圆
Δα=±2nπ简谐振动(ⅠⅢ象限)
Δα=±(2n+1)π简谐振动(ⅡⅣ象限)
方向垂直,频率不同,频率成整数比
利萨如图形,花样与振幅、频率、初相有关
⒌阻尼振动的动力学方程为。
其运动学方程分三种情况:
⑴在弱阻尼状态(β<ω0),振动的方向变化有周期性,
,对数减缩= βT’.
⑵在过阻尼状态(β>ω0),无周期性,振子单调、缓慢地回到平衡位置。
⑶临界阻尼状态(β=ω0),无周期性,振子单调、迅速地回到平衡位置
⒍受迫振动动力学方程;
其稳定解为,ω是驱动力的频率,A0和φ也不是由初始条件决定,

当时,发生位移共振。
一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m,其重心C和轴O间的距离为h,刚体对转动轴线的转动惯量为I。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动?如果是,求固有频率,不计一切阻力。
解:规定转轴正方向垂直纸面向外,忽
略一切阻力,则刚体所受力矩τ= - mghsinφ O h
因为是微小摆动,sinφ≈φ,∴τ= - mghφ,
即刚体是在一线性回复力矩作用下在平衡位φ C
置附近运动,因而是简谐振动。
由转动定理: mg
即,
轻弹簧与物体的连接如图所示,物体质量为m,弹簧的劲度系数为k1和k2,支承面为理想光滑面,求系统振动的固有频率。
解:以平衡位置为原点建立 k1 k2
m
坐标o-x。设m向右偏离平衡位
置x,则弹簧1被拉长x,弹簧2 o x
被压缩x,m所受的合力(即回复力).
由牛顿第二定律:
一垂直悬挂的弹簧振子,振子质量为m,,使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度系数k2应是k1的多少倍?
m
解:以两个弹簧串联后m的平衡位置为原点建立图示坐标o-x,设m向下偏离平衡位置x,弹簧1伸长ΔL1,弹簧2 k1
伸长ΔL2,ΔL1+ΔL2 = x (1);由于忽略弹簧质量, k2
两个弹簧连接点处所受的两个弹力等大反向,即
k1ΔL1 = k2ΔL2 (2);由⑴、⑵解得:, o
所以m所受的回复力, x
由牛顿二定律; ,即
,未串联前频率,令,即
,可求得:
单摆周期的研究:⑴单摆悬挂于以加速度a沿水平