文档介绍：2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一一一、一、、、选择题选择题:1:1:1 ~ 888小题,,,每小题,每小题 444分分分, 分,,,共共共共323232 分分分. 分...下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中,,,只有一个选项符,只有一个选项符
合题目要求求的,,,请将所选项前的字母填在,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上...
π
(1) 设 cosx− 1 = x sinα( x ) ,其中α(x ) < ,则当 x → 0 时,α(x ) 是( )
2
(A) 比比 x 高阶的无穷小(B) 比比 x 低阶的无穷小
(C) 与 x 同阶但不等价的无穷小(D) 与 x 等价的无穷小
【答案】(C)
1
【解析】Qcosx− 1 = x ⋅ sinα( x ) , cosx− 1 ~ − x2
2
1 1
∴x ⋅sinα( x ) ~ − x2 ∴sinα(x ) ~ − x
2 2
1
又Qsinα(x ) ~ α( x ) ∴α(x ) ~ − x
2
∴α(x ) 与 x 同阶但不等价的无穷小. 所以选(C).
2
(2) 设函数 y= f( x ) 由方程 cos(xy )+ ln y − x = 1 确定, 则 limn [ f ( )− 1] =
n→∞ n
( )
(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2
【答案】(A)
【解析】因为 x=0时, y = 1即 f (0)= 1.
2
f( )− f (0)
Q 2 −= ⋅n = =
limn f ( ) 1 lim 2 2 f '(0) 2 y ' =
n→∞ n →∞ 2 x 0
n − 0
n
又Qcos(xy )+ ln y − x = 1
1
两边对 x 求求导得: −sin(xy ) ⋅ y + ⋅ y′− 1 = 0 ,
y
将 x=0, y = 1,代入上式得 y′= 1.
∴选(A).
sinx ,0 ≤ x < π x
(3) 设函数 f( x ) = ,F( x )= ∫ f ( t ) dt ,则( )
2,π≤x ≤ 2 π 0
(A) x = π是函数 F( x ) 的跳跃间断点
(B) x = π是函数 F( x ) 的可去间断点
(C) F( x ) 在 x = π处连续但不可导
(D) F( x ) 在 x= π处可导
【答案】(C)
【解析】因 x = π是 f( x ) 在[0,2 π] 唯一的第一类间断点,即 f( x ) 在[0,2 π] 可积,故
x
F( x )= f ( t ) dt 在[0,2 π]连续.
∫0
因 x = π是 f( x ) 的第一类间断点,故 F( x ) 在 x = π不可导. 所以选(C).
1 < <
α−1 ,1 x e
(x− 1) +∞
(4) 设函数 f( x ) = , 若反常积分∫ f( x ) dx 收敛, 则
1 1
, x≥ e
xln α+1 x
( )
(A)α< − 2 (B)α> 2 (C) −2 <α< 0 (D) 0<α< 2
【答案】(D)
+∞ e 1+∞ 1
【解析】= +
∫f( x ) dx ∫α−1 dx ∫α+ 1 dx
1 1 (x− 1)e x ln x
e 1
, = 是瑕点,故α−< 时,瑕积分收敛.
∫α−1 dx x 1 1 1
1 (x − 1)
+∞
1 1 −α+∞
= −,要使其收敛,需α> .
∫α+1 dx(ln x ) e 0
e xln x α
综上所述 0<α< 2 ∴选(D).
y x∂ z ∂ z
(5)设 z= f( xy ) ,其中函数 f 可微,则+ = ( )
x y∂ x ∂ y
2 2
(A) 2yf' ( xy ) (B) −2yf' ( xy ) (C) f( xy ) (D) − f( xy )
x x
【答案】(A)
∂z y y y y y 2
【解析】Q =(f ( xy ))'=- f ( xy )+ f '( xy )⋅ y =- f ( xy )+ f '( xy )
∂x x x2 x x2 x
x∂ z 1
⋅= -f ( xy )+ yf '( xy )
y∂ x x
∂z1 y 1
=f( xy ) + f '( xy ) ⋅ x