文档介绍：第四章 平面问题的极坐标解答
本章将系统地平面问题极坐标解答的基本理论。主要内容如下:
1、极坐标系下平面问题的基本方程;
2、极坐标系下按应力求解的方法;
3、极坐标系下典型问题的求解;
本章学面问题的基本理论,要求理解:
1、极坐标系求解的适用对象;
2、极坐标系下基本未知函数的表示方法及与直角坐标表示法的异同;
3、极坐标系下基本方程和按应力求解方法,并比较与直角坐标系的基本方程和解法的异同;
本章学衡微分方程
极坐标中的几何方程与物理方程
极坐标中的应力函数与相容方程
应力分量的坐标变换式
轴对称应力和相应的位移
圆环或圆筒受均布压力
圆孔的孔口应力集中
半平面体在边界上受集中力
半平面体在边界上受分布力
主要内容
绪论
采用极坐标系求解的优点:对于由由径向线或圆弧线所围成的圆形、圆环形、楔形、扇形等弹性体,由于用极坐标表示其边界线非常方便,从而使得边界条件的表示和基本方程的求解得到很大的简化,宜用极坐标求解。
极坐标系中任一点用径向坐标 r 和环向坐标 f 表示,与直角坐标系相比:
相同点:均为正交坐标系;
不同点:直角坐标系中两坐标线均为直线,有固定方向,量纲均为L;而极坐标系中径向坐标线为直线,环向坐标线则为圆弧曲线,不同点有不同方向,量纲分别为L和一。
上述区别会引起弹性力学基本方程的差异。
绪论
正负号规定:正坐标面上以沿正坐标方向为正,负向为负;负坐标面上以沿负坐标方向为正,正向为负;
径向及环向的体力分量分别用fr和fj表示,以沿正坐标方向为正,负向为负。
应力分量的定义:
选取由两条径向线和两条环向线所围成的微分体PACB,厚度为1。沿r方向的正应力称为径向正应力,用sr表示;沿j方向的正应力称为环向正应力或切向正应力,用sj表示;切应力用trj及tjr表示
§ 极坐标中的平衡微分方程
考虑问题的基础知识:平面上的静力学知识
分析问题方法:平面力系和力矩的平衡条件
分析手段:微分单元体(微分)
意义:平面区域内任一点的微分体的平衡条件
极坐标中的平衡微分方程
径向面PB和AC的面积不相同,分别为 rdf×1 和(r+dr )df ×1,环向面PA和BC的面积均为dr ×1,但两者不平行。
与直角坐标中相似,利用级数展开,可求出各微面上的应力。
力矩平衡条件:
由通过中心点并平行于Z轴的直线为转轴,根据力矩的平衡条件,可推导出“切应力互等定理”,即
极坐标中的平衡微分方程
力系平衡条件:
将微分体所受各力分别投影到微分体中心的径向轴和环向轴上,可分别列出径向和环向的平面平衡方程,即
平衡微分方程:注意事项
列平衡条件时,应力和体力应分别乘以其作用面积和体积,才能得到合力;
应用了两个基本假设:连续性假设和小变形假设,这也是其适用的条件;
平衡微分方程表示了平面区域内任一点的平衡条件
平面应力问题和平面应变问题的平衡微分方程相同