文档介绍：第十七讲
小振动
本讲导读
动能和势能的泰勒展开
线性齐次方程的求解
简正频率
简正坐标
一、多自由度力学体系的小振动
一个完整的稳定、保守的力学体系在平衡位置时的广义坐标均等于零. 如果力学体系自平衡位置发生微小偏移, 力学体系的势能可以在平衡位形区域内展成泰勒级数,
利用保守体系的平衡方程, 略去二级以上的高级项并令V=0, 就得到
在稳定约束时, 动能T只是速度的二次齐次函数, 即
式中系数a是广义坐标q的显函数. 把a在力学体系平衡位形的区域内展成泰勒级数, 就得到
由于q值很小, 因此展开式中只保留头一项, 动能T变为
现在式中系数a是不变的. 展开式中的系数具有特别名称, 即c称为恢复系数或准弹性系数, 而a则称为惯性系数.
所以
把这些表示式代入拉格朗日方程式就得到力学体系在平衡位置附近的动力学方程
这是线性齐次常微分方程组, 它的解
式中A 及是常数. 把这表示式代回, 得
从行列式
求出2s个的本征值l, (l=1,2,…,2s). 然后求出一组A(l), 方程式的解即是
为了物体在平衡位置附近振动, 则力学体系的势能V > 0 (即平衡位置V=0是极小值), 方程所有的根l为纯虚数.
既然l是纯虚数, 因此可令
这样, 解可以写为
实数解为
实际上, 我们把的某一本征值l代入原方程后, 并不能得出s个互相独立的常数A(=1,2,…,s), 而只能得出它们的比, 因为此时系数行列式等于零. 如果行列式的(s-1)阶代数余子式中有一个不等于零, 则在一组解A中只有一个数是可以任意取的. 如果设此常数为A(l) ,则A(l)可写为
即
在方程的解中共有2s2个常数, 因为每个l对应一个任意常数, 而共有2s个l, 所以2s2个常数只有2s个是独立的. 这2s个常数, 可由起始条件决定, 即t=0时的初始位置和初始速度应为已知. 这样,
实数解:
这里的l叫做简正频率, 它的数目共有 s个, 和力学体系的自由度数相等.
多自由度体系的小振动问题比较复杂的原因是在势能和动能中都有交叉项(相互作用). 消除之,可以简化问题.
因为动能总是正定的, 根据线性代数理论, 总能找到线性变换
使得T和V同时变成正则形式, 即没有交叉项. 变换后
相应的拉氏方程为
二、简正坐标
所以
可得, 解
式中
坐标l叫做简正坐标, l仍为简正频率.
每一个简正坐标都做具有自己固有频率l的谐振动, 而广义坐标, 作为简正坐标的线性函数, 将是s个谐振叠加而成的复杂运动.