文档介绍：第十八讲
哈密顿正则方程
本讲导读
勒襄特变换
正则变量相空间相点
哈密顿正则方程
守恒定理
一、勒襄特变换
在方程中, 把一组独立自变量变为另一组独立自变量的变换, 叫勒襄特变换.
定义广义动量
则由拉氏方程, 得
如果把广义动量和广义坐标作为独立变量, 则
从而拉氏量L也可以表示为广义动量和广义坐标的函数
当认为L是广义坐标,广义速度和时间的函数时
考虑广义动量的定义, 得
二、正则方程
对于哈密顿量
可得
H作为广义动量, 广义坐标和时间的函数, 又有
由于动量, 坐标和时间都是独立的, 所以
——哈密顿正则方程
相应的广义动量, 坐标叫做正则变量, 它们组成的2s维空间叫相空间, 一组数值对应相空间中一点, 叫相点.
哈密顿量 H=Ep+Ek
动量定义
牛顿第二定律
p …广义动量
x…广义位移
即:
哈密顿正则方程:
一维弹簧振子的运动
因为
三、守恒定理
只要H不显含时间, 它就是守恒的, 即不随时间变化.
1 能量守恒
H中不显含t时,再分稳定约束与不稳定约束这两种情况来讨论。
1、稳定约束
T=T2
H = T + V = h = const
对于完整的保守力学体系来说,若H不显含t,而且体系受稳定约束时,体系的H是能量积分,这时体系的机械能守恒。
2、不稳定约束
H = T2 - T0 + V= h = const
可见,对于完整的保守力学体系来说,若H中不显含t,而且体系受不稳定约束时,体系的H是广义能量积分。
2 循环积分
若 H =H(q1,…,qs;p1,…,ps;t)中不显含某个pi 或某个qi,即pi ,qi 为循环坐标,则由哈密顿方程立即得到
qi=const
pi =const