文档介绍：理论力学
何国兴
东华大学应用物理系
第一章牛顿动力学方程
§ 经典力学基础——《原理》
牛顿三大定律
§ 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式
牛顿第二定律矢量表达式
F = dP/dt = d(mv)/dt
若m 为常数, F = mdv /dt = ma
1、直角坐标系
Fx = mdvx /dt = max
Fy = mdvy /dt = may
Fz = mdvz /dt = maz
例题:假设“和平”号宇宙空间站在接近地面摧毁时,有一质量为 m 的碎片以水平方向的初速 vo 抛出,已知空气阻力与速度成正比,即 f = - kv ( k 为常数),试求碎片的运动方程和轨迹方程。
解:牛顿第二定律:mg + f = mg - kv = mdv/dt
建立坐标系:x 轴—— vo 方向;
y 轴——垂直向下方向。
初始条件: t = 0, xo = 0 , yo = 0 , zo = 0;
vxo = vo , vyo = 0 , vzo = 0;
运动微分方程: - kvx = mdvx /dt
mg - kvy = mdvy /dt
0 = mdvz /dt
运动微分方程: - kvx = mdvx /dt
mg - kvy = mdvy /dt
0 = mdvz /dt
x方向: dvx / vx = - (k/ m) dt
→ vx = vo e - kt/m
y方向: - kdvy/(mg-kvy) = -(k/ m)dt
→ vy = (mg/k)(1- e - kt/m )
z方向: dvz = 0 → vz = vzo = 0
vx = vo e - kt/m
vy = (mg /k)( 1- e - kt/m )
vz = 0
vx = vo e - kt/m ,vy = (mg /k)( 1- e - kt/m ) ,vz = 0
→ x - xo = ∫ot vo e - kt/m dt = (mvo /g)( 1- e - kt/m )
→ y - yo = ∫ot (mg /k)( 1- e - kt/m ) dt
= mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m )
→ z - zo = ∫ot 0 dt = 0
运动方程: x = (mvo /g)( 1- e - kt/m )
y = mg t /k - m2g /k2 (1- e - kt/m )
z = 0
→ kt/m = - ln( 1-kx/mvo )
轨迹方程: y = - g ln( 1-kx/mvo ) - mg x / kvo
z = 0
§ 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式
2、平面极坐标系(r,φ)
与直角坐标系关系:
(1) (x , y) →(r ,φ)
x = r cosφ
y = r sinφ
vx= vr cosφ-vφsin φ
vy= vr sinφ+ vφ cosφ
r
v
φo
x
y
ro
φ
§ 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式
2、平面极坐标系(r,φ)
(2) ( vx , vy ) →( vr , vφ)
(3) ( ax , ay ) →( ar , aφ)
作业
已知球坐标系与直角坐标系关系:
x = r sin cos
y = r sin sin
z = r cos
推导球坐标系(r,,φ)中的
(1)速度分量( v r ,v,vφ);
(2)加速度分量( a r ,a,aφ) 。
y
x
z
q1
q2
q3
e1
e2
e3
o
3、一般曲线坐标系中的速度、速率、加速度公式
x = x(q1, q2 , q3 ), y = y(q1, q2 , q3 ), z = z(q1, q2 , q3 )