文档介绍：§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动

弹簧产生的力矩为
空气阻力为
重力产生力矩为
倒摆的运动微分方程为
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动

条件:
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动
在无驱动力时系统具有3个平衡位置
因而有
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受迫Duffing方程
对方程进行无量纲化的好处至少有两方面:(1)方程涉及的只是数量关系;(2)更重要的是取不同的长度单位和时间单位时, 方程中各项系数的大小不同,显示出不同景象.
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动

(1)对初值的敏感和李雅普诺夫指数
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动
由确定性方程产生的对初值敏感的现象通常称为混沌现象.
李雅普诺夫指数
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若两个指数中有一个为正,即表明相邻轨道的间距具有平均指数发散的性质,轨道具有局部不稳定性,据此可判断运动为混沌运动.
(2)关于分叉现象
双稳态
单稳态
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时平衡位置
分叉现象
分叉点
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(3)吸引子和奇怪吸引子
双稳态
两个稳定平衡位置
倒摆运动轨道具有局部不稳定性, 但由于系统是耗散的, 相体积不断收缩, 因而具有全局稳定性, 最终被吸引于奇怪吸引子附近.
§4-7 能导致混沌的倒摆的受迫振动
吸引子是耗散系统演化的最后归宿或极限运动状态. 由于耗散系统在演化过程中相体积是不断减少的,当它演化至极限状态时将位于较低维数的区域. 吸引子可以是一个不动点, 具有零维, 如线性阻尼振动的归宿; 吸引子可以是极限环, 具有一维, 如自激振动系统的归宿. 这些吸引子称为平凡吸引子. 奇怪吸引子是指耗散系统混沌运动的归宿, 它具有分数维数(维数的概念需要推广).保守系统的混沌现象不能称为奇怪吸引子.
(4)混沌运动的功率谱是连续谱
周期运动
混沌运动(非周期运动)
连续谱
分立谱