文档介绍：，即知在内可导，
由得，
即在内存在使拉格朗日中值公式成立.
(3) 显然函数在区间上连续，在开区间内可导，且

令得取则等式
.
2．不求导数函数的导数, 判断方程有几个实根，并指出这些根的范围.
解因为所以在闭区间和上均满足罗尔定理的三个条件，从而，在内至少存在一点使即是的一个零点；
又在内至少存在一点使即是的一个零点.
又因为为二次多项式，最多只能有两个零点，故恰好有两个零点，分别在区间和.
3．设函数是定义在处处可导的奇函数，试证对任意正数a，存在, 使 .
证因处处可导，则在上应用拉格朗日中值定理：存在，使
.
由是奇函数，则上式为, 故有
.
4．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
(1) 当时, ;
(2) 若, 则.
证(1) 当时,

由且得：
.
(2) 若,不妨设，

从而.
5．应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式：
(1) ;
(2) .
证(1) 设,

又即
(2)设,
因为，
所以 ,是常数.
又 , 即
故 .
6．设函数在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点, 使
证作辅助函数则在上满足柯西中值定理的条件，故在内至少存在一点使
即 <br****题4-2
1．写出函数在处的四阶泰勒公式.
解，

于是所求泰勒公式为
其中在1与之间.
2. 写出函数在处的带皮亚诺余项的阶泰勒公式.
解，

于是所求的带皮亚诺余项的阶泰勒公式为
3．求下列函数的带皮亚诺余项的阶麦克劳林公式：
(1) ；
(2) .
解 (1)因为
所以
.
(2) 由
知
故
.
4. 用泰勒公式计算下列极限：
(1) ；
(2) .
解 (1)
又
从而
(2)
又
从而
.
5. 利用四阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差：
(1) ；
(2) .
解 (1)
上式中，取得
以代入得
，(取小数点后四位)
其误差 .
(2) .
取得 (取小数点后四位)
其误差 <br****题4-3
1．计算下列极限：
(1) ； (2) ;
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) ；
(7) ; (8) ;
(9) ; (10) ;
(11) ; (12) ;
(13) ; (14) ;
(15) ; (16) ;
(17) ; (18) ;
解 (1) ；
(2) =-2;
(3) ；
(4) =1；
(5) ；
=3
(6) =-1；
(7) ;
(8)
;
(9) ;
(10) ;
(11)
;
(12)
;
(13)
;
(14)
;
(15) ,
又
故=;
(16) =,
又,
故==1;
(17) ;
(18) .
2. 设,，,求.
解 .<br****题4-4
1．判断函数的单调性.
解又
在内，函数单调减少；
在内，函数单调增加.
2．判断函数在区间的单调性.
解 ,在区间，函数单调减少.
3．求下列函数的单调区间：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
解 (1)
解方程得
当时，在上单调增加；
当时，上单调减少；
当时，在上单调增加.
(2) ,
解方程得，
在内，在内单调减少；
在内，在单调增加.
(3) 令解得在处不存在.
在内，函数单调增加；在内，函数单调增加；故函数在内函数单调增加；
在内，函数单调减少；
在内，函数单调增加.
(4)
,,
令解得
在内，函数单调增加；
在内，函数单调减少；
在内，函数单调减少；
在内，函数单调增加.
4．当时，应用单调性证明下列不等式成立：
(1) ；
(2) .
证 (1) 令, 则
.
当时,