文档介绍：第一章函数极限连续问题 1. 上岸点的问题有一个士兵 P ,在一个半径为 R 的圆形游泳池(图 1—1) 2 2 2 x y R ? ?内游泳,当他位于点( , 02 R?)时,听到紧急集合号,于是得马上赶回位于 A=(2R,0 )处的营房去,设该士兵水中游泳的速度为 1v ,陆地上跑步的速度为 2v ,求赶回营房所需的时间 t 与上岸点 M 位置的函数关系。图 1-1 解: 这里需要求的是时间 t 与上岸点 M 位置的函数关系,所以一定要先把上岸点 M的位置数字化,根据本题特点可设( cos , sin ) M R R ? ??其中?为M 的周向坐标( 即极坐标系中的极角), 于是本题就成为了求函数关系( ) t f ??的问题。由对称性,我们可只讨论在上半圆周上岸的情况,即先确定函数( ) t f ??的定义域为0 ? ?? ?。该士兵在水中游泳所花的时间为 2 2 2 1 1 1 1 1 ( cos ) sin 5 4cos 2 2 PM R R t R R v v v ? ??? ? ????而在陆地上跑步所需的时间,则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论: 1当03 ??? ?时,有 2 2 2 5 4cos MA R t v v ??? ??; 2当3 ?? ?? ?时,要先跑一段圆弧 MB ,再跑一段且线段 BA ,所以 2 2 2 1 ( ) ( 3) 3 R t MB BA v v ??? ????。综上所述,可得 1 2 1 2 5 4cos 5 4cos , 0 2 3 5 4cos ( 3), 2 3 3 R R v v t R R v v ?? ??? ?? ? ???? ?????????? ???????问题 2 外币兑换中的损失某人从美国到加拿大去度假, 他把美元兑换成加拿大元时, 币面数值增加 12% , 回国后 BAO x yP M?M ?他发现把加拿大元兑换成美元时, 币面数值减少 12% 。把这两个函数表示出来, 并证明这两个函数不互为反函数,即经过这么一来一回的兑换后,他亏损了一些钱。解:设 1 ( ) f t 为将 x 美元兑换成的加拿大元数, 2 ( ) f t 为将 x 加拿大元兑换成的美元数, 则1 ( ) 12% , 0 f t x x x x ? ???? 2 ( ) 12% , 0 f t x x x x ? ????而 2 1 ( ( )) , f f t x x x ? ???故1 ( ) f t ,2 ( ) f t 不互为反函数。思考题: 设一美国人准备到加拿大去度假,他把 1000 美元兑换成加拿大元,但因未能去成,于是又将加拿大元兑换成了美元,问题亏损了多少钱?( 美元) 问题 3 黄山旅游问题一个旅游者, 某日早上 7 点钟离开安徽黄山脚下的旅馆, 沿着一条上山的路, 在当天下午7 点钟走到黄山顶上的旅馆。第二天早上 7 点钟,他从山顶沿原路下山,在当天下午 7 点钟回到黄山脚下的旅馆。试证明在这条路上存在这样一个点, 旅游者在两天的同一时刻都经过此点。证明: 设两个旅馆之间的路程为 L ,以( ) f t 表示在时刻( [7,19]) t?该旅游者离开山脚下的旅馆的路程,则可知( ) f t 是区间[7,19] 上的连续函数,且有(7) 0 f?, (19) f L ?。以( ) g t 表示该旅游者在第二天下山时在与前一天相同时刻尚未走完的路程,则可知( ) g t 是区间[7,19] 上的连续函数,且有(7) f L ?, (19) 0 f?。于是原问题可转化为:证明存在[7,19] ??,使( ) ( ) f g ? ??。作辅助函数(